Scanned from Adam-Tannery VIII. |359| REGULAE AD DIRECTIONEM INGENII Regula I Studiorum finis esse debet ingenii directio ad solida et uera, de iis omnibus quae occurrunt, proferenda iudicia. [1.01] Ea est hominum consuetudo, ut, quoties aliquam similitudinem inter duas res agnoscunt, de utraque iudicent, etiam in eo in quo sunt diuersae, quod de alterutra uerum esse compererunt. Ita scientias, quae totae in animi cognitione consistunt, cum artibus, quae aliquem corporis usum habitumque desiderant, male conferentes, uidentesque non omnes artes simul ab eodem homine esse addiscendas, sed illum optimum artificem facilius euadere, qui unicam tantum exercet, |360| quoniam eaedem manus agris colendis et citharae pulsandae, uel pluribus eiusmodi diuersis officiis, non tam commode quam unico ex illis possunt aptari: idem de scientiis etiam crediderunt, illasque pro diuersitate obiectorum ab inuicem distinguentes, singulas seorsim et omnibus aliis omissis quaerendas esse sunt arbitrati. In quo sane decepti sunt. Nam cum scientiae omnes nihil aliud sint quam humana sapientia, quae semper una et eadem manet, quantumuis differentibus subiectis applicata, nec maiorem ab illis distinctionem mutuatur, quam Solis lumen a rerum, quas illustrat, uarietate, non opus est ingenia limitibus ullis cohibere; neque enim nos unius ueritatis cognitio, ueluti unius artis usus, ab alterius inuentione dimouet, sed potius iuuat. Et profecto mirum mihi uidetur, plerosque hominum mores, plantarum uires, siderum motus, metallorum transmutationes, similiumque disciplinarum obiecta diligentissime perscrutari, atque interim fere nullos de bona mente, siue de hac uniuersali Sapientia, cogitare, cum tamen alia omnia non tam propter se, quam quia ad hanc aliquid conferunt, sint aestimanda. Ac proinde non immerito hanc regulam primam omnium proponimus, quia nihil prius a recta quaerendae ueritatis uia nos abducit, quam si non ad hunc finem generalem, sed ad aliquos particulares studia dirigamus. Non de peruersis loquor et damnandis, ut sunt inanis gloria uel lucrum turpe: ad hos enim perspicuum est fucatas rationes, et uulgi ingeniis accommodata ludibria, longe magis compendiosum |361| iter aperire, quam possit solida ueri cognitio. Sed de honestis etiam intelligo et laudandis, quia ab his decipimur saepe subtilius: ut si quaeramus scientias utiles ad uitae commoda, uel ad illam uoluptatem, quae in ueri contemplatione reperitur, et quae fere unica est integra et nullis turbata doloribus in hac uita felicitas. Hos enim scientiarum fructus legitimos possumus quidem exspectare; sed, si de illis inter studendum cogitemus, saepe efficiunt, ut multa, quae ad aliarum rerum cognitionem necessaria sunt, uel quia prima fronte parum utilia, uel quia parum curiosa uidebuntur, omittamus. Credendumque est, ita omnes [scientiae] inter se esse connexas, ut longe facilius sit cunctas simul addiscere, quam unicam ab aliis separare. Si quis igitur serio rerum ueritatem inuestigare uult, non singularem aliquam debet optare scientiam: sunt enim omnes inter se coniunctae et a se inuicem dependentes; sed cogitet tantum de naturali rationis lumine augendo, non ut hanc aut illam scholae difficultatem resoluat, sed ut in singulis uitae casibus intellectus uoluntati praemonstret quid sit eligendum; et breui mirabitur se, et longe maiores progressus fecisse, quam qui ad particularia student, et non tantum eadem omnia quae alii cupiunt, esse adeptum, sed altiora etiam quam possint exspectare. |362| Regula II Circa illa tantum obiecta oportet uersari, ad quorum certam et indubitatam cognitionem nostra ingenia uidentur sufficere. [2.01] Omnis scientia est cognitio certa et euidens; neque doctior est qui de multis dubitat, quam qui de iisdem nunquam cogitauit, sed nihilominus eodem uidetur indoctior, si de aliquibus falsam concepit opinionem; ac proinde nunquam studere melius est, quam circa obiecta adeo difficilia uersari, ut, uera a falsis distinguere non ualentes, dubia pro certis cogamur admittere, cum in illis non tanta sit spes augendi doctrinam, quantum est periculum minuendi. Atque ita per hanc propositionem reiicimus illas omnes probabiles tantum cognitiones, nec nisi perfecte cognitis, et de quibus dubitari non potest, statuimus esse credendum. Et quamuis ualde paucas tales existere sibi fortasse persuadeant litterati, quia scilicet ad cognitiones tales, ut nimis faciles et unicuique obuias, communi quodam gentis humanae uitio, reflectere neglexerunt: moneo tamen longe esse plures quam putant, atque tales sufficere ad innumeras propositiones certo demonstrandas, de quibus illi hactenus non nisi probabiliter disserere potuerunt. Et quia crediderunt indignum esse |363| homine litterato fateri se aliquid nescire, ita assueuere commentitias suas rationes adornare, ut sensim postea sibimetipsis persuaserint, atque ita illas pro ueris uenditarint. [2.02] Verum, si hanc regulam bene seruemus, ualde pauca occurrent, quibus addiscendis liceat incumbere. Vix enim in scientiis ulla quaestio est, de qua non saepe uiri ingeniosi inter se dissenserint. Sed quotiescumque duorum de eadem re iudicia in contrarias partes feruntur, certum est alterutrum saltem decipi, ac ne unus quidem uidetur habere scientiam: si enim huius ratio esset certa et euidens, ita illam alteri posset proponere, ut eius etiam intellectum tandem conuinceret. De omnibus ergo quae sunt eiusmodi probabiles opiniones, non perfectam scientiam uidemur posse acquirere, quia de nobis ipsis plura sperare, quam caeteri praestiterunt, sine temeritate non licet; adeo ut, si bene calculum ponamus, solae supersint Arithmetica et Geometria ex scientiis iam inuentis, ad quas huius regulae obseruatio nos reducat. [2.03] Neque tamen idcirco damnamus illam, quam caeteri hactenus inuenerunt, philosophandi rationem, et scholasticorum, aptissima bellis, probabilium syllogismorum tormenta: quippe exercent puerorum ingenia, et cum quadam aemulatione promouent, quae longe melius est eiusmodi opinionibus informari, |364| etiamsi illas incertas esse appareat, cum inter eruditos sint controuersae, quam si libera sibi ipsis relinquerentur. Fortasse enim ad praecipitia pergerent sine duce; sed quamdiu praeceptorum uestigiis insistent, licet a uero nonnunquam deflectant, certe tamen iter capessent, saltem hoc nomine magis securum, quod iam a prudentioribus fuerit probatum. Atque ipsimet gaudemus, nos etiam olim ita in scholis fuisse institutos; sed quia illo iam soluti sumus sacramento, quod ad uerba Magistri nos adstringebat, et tandem aetate satis matura manum ferulae subduximus, si uelimus serio nobis ipsis regulas proponere, quarum auxilio ad cognitionis humanae fastigium adscendamus, haec profecto inter primas est admittenda, quae cauet, ne otio abutamur, ut multi faciunt, quaecumque facilia sunt negligentes, et nonnisi in rebus arduis occupati, de quibus subtilissimas certe coniecturas et ualde probabiles rationes ingeniose concinnant; sed post multos labores sero tandem animaduertunt, se dubiorum multitudinem tantum auxisse, nullam autem scientiam didicisse. [2.04] Nunc uero, quia paulo ante diximus ex disciplinis ab aliis cognitis solas Arithmeticam et Geometriam ab omni falsitatis uel incertitudinis uitio puras existere: ut diligentius rationem expendamus quare hoc ita sit, notandum est, nos duplici uia ad cognitionem |365| rerum deuenire, per experientiam scilicet, uel deductionem. Notandum insuper, experientias rerum saepe esse fallaces, deductionem uero, siue illationem puram unius ab altero, posse quidem omitti, si non uideatur, sed nunquam male fieri ab intellectu uel minimum rationali. Et parum ad hoc prodesse mihi uidentur illa Dialecticorum uincula, quibus rationem humanam regere se putant, etiamsi eadem aliis usibus aptissima esse non negem. Omnis quippe deceptio, quae potest accidere hominibus, dico, non belluis, nunquam ex mala illatione contingit, sed ex eo tantum, quod experimenta quaedam parum intellecta supponantur, uel iudicia temere et absque fundamento statuantur. [2.05] Ex quibus euidenter colligitur, quare Arithmetica et Geometria caeteris disciplinis longe certiores exsistant: quia scilicet hae solae circa obiectum ita purum et simplex uersantur, ut nihil plane supponant, quod experientia reddiderit incertum, sed totae consistunt in consequentiis rationabiliter deducendis. Sunt igitur omnium maxime faciles et perspicuae, habentque obiectum quale requirimus, cum in illis citra inaduertentiam falli uix humanum uideatur. Neque tamen ideo mirum esse debet, si multorum ingenia se sponte potius ad alias artes uel Philosophiam applicent: hoc enim accidit, quia confidentius sibi quisque dat diuinandi licentiam in re obscura, quam in euidenti, et |366| longe facilius est de qualibet quaestione aliquid suspicari, quam in una quantumuis facili ad ipsammet ueritatem peruenire. [2.06] Iam uero ex his omnibus est concludendum, non quidem solas Arithmeticam et Geometriam esse addiscendas, sed tantummodo rectum ueritatis iter quaerentes circa nullum obiectum debere occupari, de quo non possint habere certitudinem Arithmeticis et Geometricis demonstrationibus aequalem. Regula III Circa obiecta proposita, non quid alii senserint, uel quid ipsi suspicemur, sed quid clare et euidenter possimus intueri, uel certo deducere, quaerendum est; non aliter enim scientia acquiritur. [3.01] Legendi sunt Antiquorum libri, quoniam ingens beneficium est tot hominum laboribus nos uti posse: tum ut illa, quae iam olim recte inuenta sunt, cognoscamus, tum etiam ut quaenam ulterius in omnibus disciplinis supersint excogitanda admoneamur. Sed interim ualde periculosum est, ne quae forsitan errorum maculae, ex illorum nimis attenta lectione contractae, quantumlibet inuitis et cauentibus nobis adhaereant. Eo enim scriptores solent esse ingenio, ut, quoties in alicuius opinionis controuersae discrimen inconsulta credulitate delapsi sunt, nos semper eodem trahere conentur subtilissimis argumentis; contra uero, quoties aliquid certum et euidens feliciter inuenerunt, |367| nunquam exhibeant nisi uariis ambagibus inuolutum, timentes scilicet ne simplicitate rationis inuenti dignitas minuatur, uel quia nobis inuident apertam ueritatem. [3.02] Nunc autem, quantumuis essent omnes ingenui et aperti, nec ulla nobis unquam dubia pro ueris obtruderent, sed cuncta exponerent bona fide, quia tamen uix quicquam ab uno dictum est, cuius contrarium ab aliquo alio non asseratur, semper essemus incerti, utri credendum foret. Et nihil prodesset suffragia numerare, ut illam sequeremur opinionem, quae plures habet Auctores: nam, si agatur de quaestione difficili, magis credibile est eius ueritatem a paucis inueniri potuisse, quam a multis. Sed quamuis etiam omnes inter se consentirent, non tamen sufficeret illorum doctrina: neque enim unquam, exempli gratia, Mathematici euademus, licet omnes aliorum demonstrationes memoria teneamus, nisi simus etiam ingenio apti ad quaecumque problemata resoluenda; uel Philosophi, si omnia Platonis et Aristotelis argumenta legerimus, de propositis autem rebus stabile iudicium ferre nequeamus: ita enim, non scientias uideremur didicisse, sed historias. [3.03] Monemur praeterea, nullas omnino coniecturas nostris de rerum ueritate iudiciis esse unquam admiscendas. Cuius rei animaduersio non exigui est momenti: neque enim potior ratio est, quare nihil iam in uulgari Philosophia reperiatur tam euidens et certum, ut in controuersiam adduci non possit, quam quia primum studiosi, res perspicuas et certas agnoscere non contenti, |368| obscuras etiam et ignotas, quas probabilibus tantum coniecturis attingebant, ausi sunt asserere; quibus sensim postea ipsimet integram adhibentes fidem, atque illas cum ueris et euidentibus sine discrimine permiscentes, nihil tandem concludere potuerunt, quod non ex aliqua eiusmodi propositione pendere uideretur, ac proinde quod non esset incertum. [3.04] Sed ne deinceps in eumdem errorem delabamur, hic recensentur omnes intellectus nostri actiones, per quas ad rerum cognitionem absque ullo deceptionis metu possimus peruenire: admittunturque tantum duae, intuitus scilicet et inductio. [3.05] Per intuitum intelligo, non fluctuantem sensuum fidem, uel male componentis imaginationis iudicium fallax; sed mentis purae et attentae tam facilem distinctumque conceptum, ut de eo, quod intelligimus, nulla prorsus dubitatio relinquatur; seu, quod idem est, mentis purae et attentae non dubium conceptum, qui a sola rationis luce nascitur, et ipsamet deductione certior est, quia simplicior, quam tamen etiam ab homine male fieri non posse supra notauimus. Ita unusquisque animo potest intueri, se existere, se cogitare, triangulum terminari tribus lineis tantum, globum unica superficie, et similia, quae longe plura sunt quam plerique animaduertunt, quoniam ad tam facilia mentem conuertere dedignantur. |369| [3.06] Caeterum ne qui forte moueantur uocis intuitus nouo usu, aliarumque, quas eodem modo in sequentibus cogar a uulgari significatione remouere, hic generaliter admoneo, me non plane cogitare, quomodo quaeque uocabula his ultimis temporibus fuerint in scholis usurpata, quia difficillimum foret iisdem nominibus uti, et penitus diuersa sentire; sed me tantum aduertere, quid singula uerba Latine significent, ut, quoties propria desunt, illa transferam ad meum sensum, quae mihi uidentur aptissima. [3.07] Studiorum finis esse debet ingenii directio ad solida et uera, de iis omnibus quae occurrunt, proferenda iudicia. [3.08] At uero haec intuitus euidentia et certitudo, non ad solas enuntiationes, sed etiam ad quoslibet discursus requiritur. Nam, exempli gratia, sit haec consequentia: 2 et 2 efficiunt idem quod 3 et 1; non modo intuendum est 2 et 2 efficere 4, et 3 et 1 efficere quoque 4, sed insuper ex his duabus propositionibus tertiam illam necessario concludi. [3.09] Hinc iam dubium esse potest, quare, praeter intuitum, hic alium adiunximus cognoscendi modum, qui fit per deductionem: per quam intelligimus, illud omne quod ex quibusdam aliis certo cognitis necessario concluditur. Sed hoc ita faciendum fuit, quia plurimae res certo sciuntur, quamuis non ipsae sint euidentes, modo tantum a ueris cognitisque principiis deducantur per continuum et nullibi interruptum cogitationis motum singula perspicue intuentis: non aliter quam longae alicuius catenae extremum annulum cum primo connecti cognoscimus, etiamsi uno eodemque oculorum |370| intuitu non omnes intermedios, a quibus dependet illa connexio, contemplemur, modo illos perlustrauerimus successiue, et singulos proximis a primo ad ultimum adhaerere recordemur. Hic igitur mentis intuitum a deductione certa distinguimus ex eo, quod in hac motus siue successio quaedam concipiatur, in illo non item; et praeterea, quia ad hanc non necessaria est praesens euidentia, qualis ad intuitum, sed potius a memoria suam certitudinem quodammodo mutuatur. Ex quibus colligitur, dici posse illas quidem propositiones, quae ex primis principiis immediate concluduntur, sub diuersa consideratione, modo per intuitum, modo per deductionem cognosci; ipsa autem prima principia, per intuitum tantum; et contra remotas conclusiones, non nisi per deductionem. [3.10] Atque hae duae uiae [intuitus et deductionis] sunt ad scientiam certissimae, neque plures ex parte ingenii debent admitti, sed aliae omnes ut suspectae erroribusque obnoxiae reiiciendae sunt; quod tamen non impedit quominus illa, quae diuinitus reuelata sunt, omni cognitione certiora credamus, cum illorum fides, quaecumque est de obscuris, non ingenii actio sit, sed uoluntatis; et si quae in intellectu habeat fundamenta, illa omnium maxime per alterutram ex uiis iam dictis inueniri possint et debeant, ut aliquando fortasse fusius ostendemus. |371| Regula IV Necessaria est methodus ad rerum ueritatem inuestigandam. [4.01] Tam caeca mortales curiositate tenentur, ut saepe per ignotas uias deducant ingenia, absque ulla sperandi ratione, sed tantummodo periculum facturi, utrum ibi iaceat quod quaerunt: ueluti si quis tam stolida cupiditate arderet thesaurum inueniendi, ut perpetuo per plateas uagaretur, quaerendo utrum forte aliquem a uiatore amissum reperiret. Ita student fere omnes Chymistae, Geometrae plurimi, et Philosophi non pauci; et quidem non nego illos interdum tam feliciter errare, ut aliquid ueri reperiant; ideo tamen non magis industrios esse concedo, sed tantum magis fortunatos. Atqui longe satius est, de nullius rei ueritate quaerenda unquam cogitare, quam id facere absque methodo: certissimum enim est, per eiusmodi studia inordinata, et meditationes obscuras, naturale lumen confundi atque ingenia excaecari; et quicumque ita in tenebris ambulare assuescunt, adeo debilitant oculorum aciem, ut postea lucem apertam ferre non possint: quod etiam experientia comprobatur, cum saepissime uideamus illos, qui litteris operam nunquam nauarunt, longe solidius et clarius de obuiis rebus iudicare, quam qui perpetuo in scholis sunt uersati. Per methodum autem intelligo regulas certas et faciles, quas quicumque |372| exacte seruauerit, nihil unquam falsum pro uero supponet, et nullo mentis conatu inutiliter consumpto, sed gradatim semper augendo scientiam, perueniet ad ueram cognitionem eorum omnium quorum erit capax. [4.02] Notanda autem hic sunt duo haec: nihil nimirum falsum pro uero supponere, et ad omnium cognitionem peruenire. Quoniam, si quid ignoramus ex iis omnibus quae possumus scire, id fit tantum, uel quia nunquam aduertimus uiam ullam, quae nos duceret ad talem cognitionem, uel quia in errorem contrarium lapsi sumus. At si methodus recte explicet quomodo mentis intuitu sit utendum, ne in errorem uero contrarium delabamur, et quomodo deductiones inueniendae sint, ut ad omnium cognitionem perueniamus: nihil aliud requiri mihi uidetur, ut sit completa, cum nullam scientiam haberi posse, nisi per mentis intuitum uel deductionem, iam ante dictum sit. Neque enim etiam illa extendi potest ad docendum quomodo hae ipsae operationes faciendae sint, quia sunt omnium simplicissimae et primae, adeo ut, nisi illis uti iam ante posset intellectus noster, nulla ipsius methodi praecepta quantumcumque facilia comprehenderet. Aliae autem mentis operationes, quas harum priorum auxilio dirigere contendit dialectica, hic sunt inutiles, uel potius inter impedimenta numerandae, |373| quia nihil puro rationis lumini superaddi potest, quod illud aliquo modo non obscuret. [4.03] Cum igitur huius methodi utilitas sit tanta, ut sine illa litteris operam dare nociturum esse uideatur potius quam profuturum, facile mihi persuadeo illam iam ante a maioribus ingeniis, uel solius naturae ductu, fuisse aliquo modo perspectam. Habet enim humana mens nescio quid diuini, in quo prima cogitationum utilium semina ita iacta sunt, ut saepe, quantumuis neglecta et transuersis studiis suffocata, spontaneam frugem producant. Quod experimur in facillimis scientiarum, Arithmetica et Geometria: satis enim aduertimus ueteres Geometras analysi quadam usos fuisse, quam ad omnium problematum resolutionem extendebant, licet eamdem posteris inuiderint. Et iam uiget Arithmeticae genus quoddam, quod Algebram uocant, ad id praestandum circa numeros, quod ueteres circa figuras faciebant. Atque haec duo nihil aliud sunt, quam spontaneae fruges ex ingenitis huius methodi principiis natae, quas non miror circa harum artium simplicissima obiecta felicius creuisse hactenus, quam in caeteris, ubi maiora illas impedimenta solent suffocare; sed ubi tamen etiam, modo summa cura excolantur, haud dubie poterunt ad perfectam maturitatem peruenire. [4.04] Hoc uero ego praecipue in hoc tractatu faciendum suscepi; neque enim magni facerem has regulas, si non sufficerent nisi ad inania problemata resoluenda, quibus Logistae uel Geometrae otiosi ludere consueuerunt; sic enim me nihil aliud praestitisse crederem, quam quod fortasse subtilius nugarer quam caeteri. Et quamuis |374| multa de figuris et numeris hic sim dicturus, quoniam ex nullis aliis disciplinis tam euidentia nec tam certa peti possunt exempla, quicumque tamen attente respexerit ad meum sensum, facile percipiet me nihil minus quam de uulgari Mathematica hic cogitare, sed quamdam aliam me exponere disciplinam, cuius integumentum sint potius quam partes. Haec enim prima rationis humanae rudimenta continere, et ad ueritates ex quouis subiecto eliciendas se extendere debet; atque, ut libere loquar, hanc omni alia nobis humanitus tradita cognitione potiorem, utpote aliarum omnium fontem, esse mihi persuadeo. Integumentum uero dixi, non quo hanc doctrinam tegere uelim et inuoluere ad arcendum uulgus, sed potius ita uestire et ornare, ut humano ingenio accommodatior esse possit. [4.05] Cum primum ad Mathematicas disciplinas animum applicui, perlegi protinus pleraque ex iis, quae ab illarum Auctoribus tradi solent, Arithmeticamque et Geometriam potissimum excolui, quia simplicissimae et |375| tanquam uiae ad caeteras esse dicebantur. Sed in neutra Scriptores, qui mihi abunde satisfecerint, tunc forte incidebant in manus: nam plurima quidem in iisdem legebam circa numeros, quae subductis rationibus uera esse experiebar; circa figuras uero, multa ipsismet oculis quodammodo exhibebant, et ex quibusdam consequentibus concludebant; sed quare haec ita se habeant, et quomodo inuenirentur, menti ipsi non satis uidebantur ostendere; ideoque non mirabar, si plerique etiam ex ingeniosis et eruditis delibatas istas artes uel cito negligant ut pueriles et uanas, uel contra ab iisdem addiscendis, tanquam ualde difficilibus et intricatis, in ipso limine deterreantur. Nam reuera nihil inanius est, quam circa nudos numeros figurasque imaginarias ita uersari, ut uelle uideamur in talium nugarum cognitione conquiescere, atque superficiariis istis demonstrationibus, quae casu saepius quam arte inueniuntur, et magis ad oculos et imaginationem pertinent quam ad intellectum, sic incumbere, ut quodammodo ipsa ratione uti desuescamus; simulque nihil intricatius, quam tali probandi modo nouas difficultates confusis numeris inuolutas expedire. Cum uero postea cogitarem, unde ergo fieret, ut primi olim Philosophiae inuentores neminem Matheseos imperitum ad studium sapientiae uellent admittere, tanquam haec disciplina |376| omnium facillima et maxime necessaria uideretur ad ingenia capessendis aliis maioribus scientiis erudienda et praeparanda, plane suspicatus sum, quamdam eos Mathesim agnouisse ualde diuersam a uulgari nostrae aetatis; non quod existimem eamdem illos perfecte sciuisse, nam eorum insanae exsultationes et sacrificia pro leuibus inuentis aperte ostendunt, quam fuerint rudes. Nec me ab opinione dimouent quaedam illorum machinae, quae apud Historicos celebrantur; nam licet fortasse ualde simplices exstiterint, facile potuerunt ab ignara et mirabunda multitudine ad miraculorum famam extolli. Sed mihi persuadeo, prima quaedam ueritatum semina humanis ingeniis a natura insita, quae nos, quotidie tot errores diuersos legendo et audiendo, in nobis extinguimus, tantas uires in rudi ista et pura antiquitate habuisse, ut eodem mentis lumine, quo uirtutem uoluptati, honestumque utili praeferendum esse uidebant, etsi, quare hoc ita esset, ignorarent, Philosophiae etiam et Matheseos ueras ideas agnouerint, quamuis ipsas scientias perfecte consequi nondum possent. Et quidem huius uerae Matheseos uestigia quaedam adhuc apparere mihi uidentur in Pappo et Diophanto, qui, licet non prima aetate, multis tamen saeculis ante haec tempora uixerunt. Hanc uero postea ab ipsis Scriptoribus perniciosa quadam astutia suppressam fuisse crediderim; nam sicut multos artifices de suis inuentis fecisse compertum est, timuerunt forte, quia facillima erat et simplex, ne uulgata uilesceret, malueruntque nobis in eius locum steriles quasdam ueritates ex consequentibus acutule demonstratas, tanquam artis suae effectus, |377| ut illos miraremur, exhibere, quam artem ipsam docere, quae plane admirationem sustulisset. Fuerunt denique quidam ingeniosissimi uiri, qui eamdem [artem] hoc saeculo suscitare conati sunt: nam nihil aliud esse uidetur ars illa, quam barbaro nomine Algebram uocant, si tantum multiplicibus numeris et inexplicabilibus figuris, quibus obruitur, ita possit exsolui, ut non amplius ei desit perspicuitas et facilitas summa, qualem in uera Mathesi debere esse supponimus. Quae me cogitationes cum a particularibus studiis Arithmeticae et Geometriae ad generalem quamdam Matheseos inuestigationem reuocassent, quaesiui inprimis quidnam praecise per illud nomen omnes intelligant, et quare non modo iam dictae, sed Astronomia etiam, Musica, Optica, Mechanica, aliaeque complures, Mathematicae partes dicantur. Hic enim uocis originem spectare non sufficit; nam cum Matheseos nomen idem tantum sonet quod disciplina, non minori iure, quam Geometria ipsa, Mathematicae uocarentur. Atqui uidemus neminem fere esse, si prima tantum scholarum limina tetigerit, qui non facile distinguat ex iis quae occurrunt, quidnam ad Mathesim pertineat, et quid ad alias disciplinas. Quod attentius consideranti tandem innotuit, illa omnia tantum, |378| in quibus ordo uel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, uel figuris, uel astris, uel sonis, alioue quouis obiecto, talis mensura quaerenda sit; ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quae id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli speciali materiae addictam quaeri potest, eamdemque, non ascititio uocabulo, sed iam inueterato atque usu recepto, Mathesim uniuersalem nominari, quoniam in hac continetur illud omne, propter quod aliae scientiae Mathematicae partes appellantur. Quantum uero haec [mathesis uniuersalis] aliis sibi subditis et utilitate et facilitate antecellat, patet ex eo quod ad eadem omnia, ad quae illae, et insuper ad alia multa extendatur, difficultatesque si quas contineat, eaedem etiam in illis existant, quibus insuper et aliae insunt ex particularibus obiectis, quas haec non habet. Nunc uero, cum nomen eius omnes norint, et, circa quid uersetur, etiam non attendentes, intelligant: unde fit ut plerique disciplinas alias, quae ab ea dependent, laboriose perquirant, hanc autem ipsam nemo curet addiscere? Mirarer profecto, nisi scirem eam ab omnibus haberi facillimam, dudumque notauissem semper humana ingenia, praetermissis iis quae facile se putant posse, protinus ad noua et grandiora festinare. [4.06] At ego, tenuitatis meae conscius, talem ordinem in cognitione rerum quaerenda pertinaciter obseruare |379| statui, ut semper a simplicissimis et facillimis exorsus, nunquam ad alia pergam, donec in istis nihil mihi ulterius optandum superesse uideatur; quapropter hanc Mathesim uniuersalem, quantum in me fuit, hactenus excolui, adeo ut deinceps me posse existimem paulo altiores scientias non praematura diligentia tractare. Sed priusquam hinc migrem, quaecumque superioribus studiis notatu digniora percepi, in unum colligere et ordine disponere conabor, tum ut ista olim, si usus exigit, quando crescente aetate memoria minuitur, commode repetam ex hoc libello, tum ut iam iisdem exonerata memoria possim liberiorem animum ad caetera transferre. Regula V Tota methodus consistit in ordine et dispositione eorum ad quae mentis acies est conuertenda, ut aliquam ueritatem inueniamus. Atque hanc exacte seruabimus, si propositiones inuolutas et obscuras ad simpliciores gradatim reducamus, et deinde ex omnium simplicissimarum intuitu ad aliarum omnium cognitionem per eosdem gradus ascendere tentemus. [5.01] In hoc uno totius humanae industriae summa continetur, atque haec regula non minus seruanda est rerum |380| cognitionem aggressuro, quam Thesei filum labyrinthum ingressuro. Sed multi uel non reflectunt ad id quod praecipit, uel plane ignorant, uel praesumunt se non indigere, et saepe adeo inordinate difficillimas examinant quaestiones, ut mihi uideantur idem facere, ac si ex infima parte ad fastigium alicuius aedificii uno saltu conarentur peruenire, uel neglectis scalae gradibus, qui ad hunc usum sunt destinati, uel non animaduersis. Ita faciunt omnes Astrologi, qui non cognita coelorum natura, sed ne quidem motibus perfecte obseruatis, sperant se illorum effectus posse designare. Ita plerique, qui Mechanicis student absque Physica, et noua ad motus ciendos instrumenta fabricant temere. Ita etiam Philosophi illi, qui neglectis experimentis ueritatem ex proprio cerebro, quasi Iouis Mineruam, orituram putant. [5.02] Et quidem illi omnes in hanc regulam peccant euidenter. Sed quia saepe ordo, qui hic desideratur, adeo obscurus est et intricatus, ut qualis sit non omnes possint agnoscere, uix possunt satis cauere ne aberrent, nisi diligenter obseruent quae in sequenti propositione exponentur. |381| Regula VI Ad res simplicissimas ab inuolutis distinguendas et ordine persequendas, oportet in unaquaque rerum serie, in qua aliquot ueritates unas ex aliis directe deduximus, obseruare quid sit maxime simplex, et quomodo ab hoc caetera omnia magis, uel minus, uel aequaliter remoueantur. [6.01] Etsi nihil ualde nouum haec propositio docere uideatur, praecipuum tamen continet artis secretum, nec ulla utilior est in toto hoc tractatu: monet enim res omnes per quasdam series posse disponi, non quidem in quantum ad aliquod genus entis referuntur, sicut illas Philosophi in categorias suas diuiserunt, sed in quantum unae ex aliis cognosci possunt, ita ut, quoties aliqua difficultas occurrit, statim aduertere possimus, utrum profuturum sit aliquas alias prius, et quasnam, et quo ordine perlustrare. [6.02] Ut autem id recte fieri possit, notandum est primo, res omnes, eo sensu quo ad nostrum propositum utiles esse possunt, ubi non illarum naturas solitarias spectamus, sed illas inter se comparamus, ut unae ex aliis cognoscantur, dici posse uel absolutas uel respectiuas. [6.03] Absolutum uoco, quidquid in se continet naturam puram et simplicem, de qua est quaestio: ut omne id quod consideratur quasi independens, causa, simplex, uniuersale, unum, aequale, simile, rectum, uel alia huiusmodi; atque idem primum uoco simplicissimum |382| et facillimum, ut illo utamur in quaestionibus resoluendis. [6.04] Respectiuum uero est, quod eamdem quidem naturam, uel saltem aliquid ex ea participat, secundum quod ad absolutum potest referri, et per quamdam seriem ab eo deduci; sed insuper alia quaedam in suo conceptu inuoluit, quae respectus appello: tale est quidquid dicitur dependens, effectus, compositum, particulare, multa, inaequale, dissimile, obliquum, etc. Quae respectiua eo magis ab absolutis remouentur, quo plures eiusmodi respectus sibi inuicem subordinatos continent; quos omnes distinguendos esse monemur in hac regula, et mutuum illorum inter se nexum naturalemque ordinem ita esse obseruandum, ut ab ultimo ad id, quod est maxime absolutum, possimus peruenire per alios omnes transeundo. [6.05] Atque in hoc totius artis secretum consistit, ut in omnibus illud maxime absolutum diligenter aduertamus. Quaedam enim sub una quidem consideratione magis absoluta sunt quam alia, sed aliter spectata sunt magis respectiua: ut uniuersale quidem magis absolutum est quam particulare, quia naturam habet magis simplicem, sed eodem dici potest magis respectiuum, quia ab indiuiduis dependet ut existat, etc. Item quaedam interdum sunt uere magis absoluta quam alia, sed nondum tamen omnium maxime: ut si respiciamus indiuidua, species est quid absolutum; si genus, est quid respectiuum; inter mensurabilia, extensio est quid absolutum, sed inter extensiones longitudo, |383| etc. Item denique, ut melius intelligatur nos hic rerum cognoscendarum series, non uniuscuiusque naturam spectare, de industria causam et aequale inter absoluta numerauimus, quamuis eorum natura sit uere respectiua: nam apud Philosophos quidem causa et effectus sunt correlatiua; hic uero si quaeramus qualis sit effectus, oportet prius causam cognoscere, et non contra. Aequalia etiam sibi inuicem correspondent, sed quae inaequalia sunt, non agnoscimus nisi per comparationem ad aequalia, et non contra, etc. [6.06] Notandum secundo paucas esse duntaxat naturas puras et simplices, quas primo et per se, non dependenter ab aliis ullis, sed uel in ipsis experimentis, uel lumine quodam in nobis insito, licet intueri; atque has dicimus diligenter esse obseruandas: sunt enim eaedem, quas in unaquaque serie maxime simplices appellamus. Caeterae autem omnes non aliter percipi possunt, quam si ex istis deducantur, idque uel immediate et proxime, uel non nisi per duas aut tres aut plures conclusiones diuersas; quarum numerus etiam est notandus, ut agnoscamus utrum illae a prima et maxime simplici propositione pluribus uel paucioribus gradibus remoueantur. Atque talis est ubique consequentiarum contextus, ex quo nascuntur illae rerum quaerendarum series, ad quas omnis quaestio est reducenda, ut certa methodo possit examinari. Quia uero non |384| facile est cunctas recensere, et praeterea, quia non tam memoria retinendae sunt, quam acumine quodam ingenii dignoscendae, quaerendum est aliquid ad ingenia ita formanda, ut illas, quoties opus erit, statim animaduertant; ad quod profecto nihil aptius esse sum expertus, quam si assuescamus ad minima quaeque ex iis, quae iam ante percepimus, cum quadam sagacitate reflectere. [6.07] Notandum denique tertio est, studiorum initia non esse facienda a rerum difficilium inuestigatione; sed, antequam ad determinatas aliquas quaestiones nos accingamus, prius oportere absque ullo delectu colligere sponte obuias ueritates, et sensim postea uidere utrum aliquae aliae ex istis deduci possint, et rursum aliae ex his, atque ita consequenter. Quo deinde facto, attente reflectendum est ad inuentas ueritates, cogitandumque diligenter, quare unas aliis prius et facilius potuerimus reperire, et quaenam illae sint; ut inde etiam iudicemus, quando aliquam determinatam quaestionem aggrediemur, quibusnam aliis inueniendis iuuet prius incumbere. Exempli gratia, si occurrerit mihi, numerum 6 esse duplum ternarii, quaesiuerim deinde senarii duplum, nempe 12; quaesiuerim iterum, si lubet, huius duplum, nempe 24, et huius, nempe 48, etc.; atque inde deduxerim, ut facile fit, eamdem esse proportionem inter 3 et 6, quae est inter 6 et 12, item inter 12 et 24, etc., ac proinde numeros, 3, 6, 12, 24, 48, etc., esse continue proportionales: inde profecto, quamuis haec omnia tam perspicua sint, ut propemodum puerilia uideantur, attente reflectendo intelligo, |385| qua ratione omnes quaestiones, quae circa proportiones siue habitudines rerum proponi possunt, inuoluantur, et quo ordine debeant quaeri: quod unum totius scientiae purae Mathematicae summam complectitur. [6.08] Primum enim aduerto, non difficilius inuentum fuisse duplum senarii, quam duplum ternarii; atque pariter in omnibus, inuenta proportione inter duas quascumque magnitudines, dari posse alias innumeras, quae eamdem inter se habent proportionem; nec mutari naturam difficultatis, si quaerantur 3, siue 4, siue plures eiusmodi, quia scilicet singulae seorsim et nulla habita ratione ad caeteras sunt inueniendae. Aduerto deinde, quamuis, datis magnitudinibus 3 et 6, facile inueneris tertiam in continua proportione, nempe 12, non tamen aeque facile datis duabus extremis, nempe 3 et 12, posse mediam inueniri, nempe 6; cuius rei rationem intuenti patet, hic esse aliud difficultatis genus a praecedenti plane diuersum: quia, ut medium proportionale inueniatur, oportet simul attendere ad duo extrema et ad proportionem quae est inter eadem duo, ut noua quaedam ex eius diuisione habeatur; quod ualde diuersum est ab eo, quod datis duabus magnitudinibus requiritur ad tertiam in continua proportione inueniendam. Pergo etiam et examino, datis magnitudinibus 3 et 24, utrum aeque facile una ex duabus mediis proportionalibus, nempe 6 et |386| 12, potuisset inueniri; hicque adhuc aliud difficultatis genus occurrit, prioribus magis inuolutum: quippe hic, non ad unum tantum aut ad duo, sed ad tria diuersa simul est attendendum, ut quartum inueniatur. Licet adhuc ulterius progredi, et uidere utrum, datis tantum 3 et 48, difficilius adhuc fuisset unum ex tribus mediis proportionalibus, nempe 6, 12 et 24, inuenire; quod quidem ita uidetur prima fronte. Sed statim postea occurrit, hanc difficultatem diuidi posse et minui: si scilicet primo quaeratur unicum tantum medium proportionale inter 3 et 48, nempe 12; et postea quaeratur aliud medium proportionale inter 3 et 12, nempe 6, et aliud inter 12 et 48, nempe 24; atque ita ad secundum difficultatis genus ante expositum reduci. [6.09] Ex quibus omnibus insuper animaduerto, quomodo per diuersas uias eiusdem rei cognitio quaeri possit, quarum una alia longe difficilior et obscurior sit. Ut ad inuenienda haec quatuor continue proportionalia, 3, 6, 12, 24, si ex his supponantur duo consequenter, nempe 3 et 6, uel 6 et 12, uel 12 et 24, ut ex illis reliqua inueniantur, res erit factu facillima; tuncque propositionem inueniendam directe examinari dicemus. Si uero supponantur duo alternatim, nempe 3 et 12, uel 6 et 24, ut reliqua inde inueniantur, tunc difficultatem dicemus examinari |386| indirecte primo modo. Si item supponantur duo extrema, nempe 3 et 24, ut ex his intermedia 6 et 12 quaerantur, tunc examinabitur indirecte secundo modo. Et ita ulterius pergere possem, atque alia multa ex hoc uno exemplo deducere; sed ista sufficient, ut lector animaduertat quid uelim, cum propositionem aliquam directe deduci dico, uel indirecte, et putet, ex facillimis quibusque et primis rebus cognitis, multa in aliis etiam disciplinis ab attente reflectentibus et sagaciter disquirentibus posse inueniri. Regula VII Ad scientiae complementum oportet omnia et singula, quae ad institutum nostrum pertinent, continuo et nullibi interrupto cogitationis motu perlustrare, atque illa sufficienti et ordinata enumeratione complecti. [7.01] Eorum, quae hic proponuntur, obseruatio necessaria est ad illas ueritates inter certas admittendas, quas supra diximus a primis et per se notis principiis non immediate deduci. Hoc enim fit interdum per tam longum consequentiarum contextum, ut, cum ad illas deuenimus, non facile recordemur totius itineris, quod nos eo usque perduxit; ideoque memoriae infirmitati continuo quodam cogitationis motu succurrendum esse dicimus. Si igitur, exempli gratia, per diuersas operationes cognouerim primo, qualis sit habitudo inter magnitudines A et B, deinde inter B et C, tum inter C et D, ac denique inter D et E: non idcirco uideo qualis sit inter |388| A et E, nec possum intelligere praecise ex iam cognitis, nisi omnium recorder. Quamobrem illas continuo quodam imaginationis motu singula intuentis simul et ad alia transeuntis aliquoties percurram, donec a prima ad ultimam tam celeriter transire didicerim, ut fere nullas memoriae partes relinquendo, rem totam simul uidear intueri; hoc enim pacto, dum memoriae subuenitur, ingenii etiam tarditas emendatur, eiusque capacitas quadam ratione extenditur. [7.02] Addimus autem, nullibi interruptum debere esse hunc motum; frequenter enim illi, qui nimis celeriter et ex remotis principiis aliquid deducere conantur, non omnem conclusionum intermediarum catenationem tam accurate percurrunt, quin multa inconsiderate transiliant. At certe, ubi uel minimum quid est praetermissum, statim catena rupta est, et tota conclusionis labitur certitudo. [7.03] Hic praeterea enumerationem requiri dicimus ad scientiae complementum: quoniam alia praecepta iuuant quidem ad plurimas quaestiones resoluendas, sed solius enumerationis auxilio fieri potest, ut ad quamcumque animum applicemus, de illa semper feramus iudicium uerum et certum, ac proinde nihil nos plane effugiat, sed de cunctis aliquid scire uideamur. [7.04] Est igitur haec enumeratio, siue inductio, eorum omnium quae ad propositam aliquam quaestionem spectant, tam diligens et accurata perquisitio, ut ex illa certo euidenterque concludamus, nihil a nobis perperam fuisse praetermissum: adeo ut, quoties illa |389| fuerimus usi, si res petita nos lateat, saltem in hoc simus doctiores, quod certo percipiamus illam nulla uia a nobis cognita potuisse inueniri; et si forte, ut saepe continget, uias omnes, quae ad illam hominibus patent, potuerimus perlustrare, liceat audacter asserere, supra omnem ingenii humani captum positam esse eius cognitionem. [7.05] Notandum praeterea, per sufficientem enumerationem siue inductionem, nos tantum illam intelligere, ex qua ueritas certius concluditur, quam per omne aliud probandi genus, praeter simplicem intuitum; ad quem quoties aliqua cognitio non potest reduci, omnibus syllogismorum uinculis reiectis, superest nobis unica haec uia, cui totam fidem debeamus adhibere. Nam quaecumque una ex aliis immediate deduximus, si illatio fuerit euidens, illa ad uerum intuitum iam sunt reducta. Si autem ex multis et disiunctis unum quid inferamus, saepe intellectus nostri capacitas non est tanta, ut illa omnia possit unico intuitu complecti; quo casu illi huius operationis certitudo debet sufficere. Quemadmodum non possumus uno oculorum intuitu longioris alicuius catenae omnes annulos distinguere; sed nihilominus, si singulorum cum proximis connexionem uiderimus, hoc sufficiet, ut dicamus etiam nos aspexisse, quomodo ultimum cum primo connectatur. [7.06] Sufficientem hanc operationem [enumerationis siue inductionis] esse debere dixi, quia saepe defectiua esse potest, et per consequens errori obnoxia. Interdum enim, etiamsi multa quidem enumeratione perlustremus, quae ualde euidentia sunt, si |390| tamen uel minimum quid omittamus, catena rupta est, et tota conclusionis labitur certitudo. Interdum etiam omnia certe enumeratione complectimur, sed non singula inter se distinguimus, adeo ut omnia tantum confuse cognoscamus. [7.07] Porro interdum enumeratio haec esse debet completa, interdum distincta, quandoque neutro est opus; ideoque dictum tantum est, illam esse debere sufficientem. Nam si uelim probare per enumerationem, quot genera entium sint corporea, siue aliquo pacto sub sensum cadant, non asseram illa tot esse, et non plura, nisi prius certo nouerim, me omnia enumeratione fuisse complexum, et singula ab inuicem distinxisse. Si uero eadem uia ostendere uelim, animam rationalem non esse corpoream, non opus erit enumerationem esse completam, sed sufficiet, si omnia simul corpora aliquot collectionibus ita complectar, ut animam rationalem ad nullam ex his referri posse demonstrem. Si denique per enumerationem uelim ostendere, circuli aream esse maiorem omnibus areis aliarum figurarum, quarum peripheria sit aequalis, non opus est omnes figuras recensere, sed sufficit de quibusdam in particulari hoc demonstrare, ut per inductionem idem etiam de aliis omnibus concludatur. [7.08] Addidi etiam, enumerationem debere esse ordinatam: tum quia ad iam enumeratos defectus nullum praesentius remedium est, quam si ordine omnia perscrutemur; tum etiam, quia saepe contingit ut, si singula, |391| quae ad rem propositam spectant, essent separatim perlustranda, nullius hominis uita sufficeret, siue quia nimis multa sunt, siue quia saepius eadem occurrerent repetenda. Sed si omnia illa optimo ordine disponamus, ut plurimum, ad certas classes reducentur, ex quibus uel unicam exacte uidere sufficiet, uel ex singulis aliquid, uel quasdam potius quam caeteras, uel saltem nihil unquam bis frustra percurremus; quod adeo iuuat, ut saepe multa propter ordinem bene institutum breui tempore et facili negotio peragantur, quae prima fronte uidebantur immensa. [7.09] Hic autem ordo rerum enumerandarum plerumque uarius esse potest, atque ex uniuscuiusque arbitrio dependet; ideoque ad illud acutius excogitandum meminisse oportet eorum, quae dicta sunt in quinta propositione. Permulta quoque sunt ex leuioribus hominum artificiis, ad quae inuenienda tota methodus in hoc ordine disponendo consistit: sic si optimum anagramma conficere uelis ex litterarum alicuius nominis transpositione, non opus est a facilioribus ad difficiliora transire, nec absoluta a respectiuis distinguere, neque enim ista hic habent locum; sed sufficiet, talem tibi proponere ordinem ad transpositiones litterarum examinandas, ut nunquam bis eaedem percurrantur, et sit illarum numerus, ex. gr., in certas classes ita distributus, ut statim appareat, in quibusnam maior sit spes inueniendi quod quaeritur; ita enim saepe non longus erit, sed tantum puerilis labor. |392| [7.10] Caeterum hae tres ultimae propositiones non sunt separandae, quia ad illas simul plerumque est reflectendum, et pariter omnes ad methodi perfectionem concurrunt; neque multum intererat, utra prior doceretur, paucisque easdem hic explicauimus, quia nihil aliud fere in reliquo Tractatu habemus faciendum, ubi exhibebimus in particulari quae hic in genere complexi sumus. Regula VIII Si in serie rerum quaerendarum aliquid occurrat, quod intellectus noster nequeat satis bene intueri, ibi sistendum est; neque caetera quae sequuntur examinanda sunt, sed a labore superuacuo est abstinendum. [8.01] Tres regulae praecedentes ordinem praecipiunt et explicant; haec autem ostendit, quandonam sit omnino necessarius, quando utilis tantum. Quippe quidquid integrum gradum constituit in illa serie, per quam a respectiuis ad absolutum quid, uel contra, ueniendum est, illud necessario ante omnia quae sequuntur est examinandum. Si uero, ut saepe fit, multa ad eumdem gradum pertineant, est quidem semper utile, illa omnia perlustrare ordine. Hunc tamen ita stricte et rigide non cogimur obseruare, et plerumque, etiamsi non omnia, |393| sed pauca tantum uel unicum quid ex illis perspicue cognoscamus, ulterius tamen progredi licet. [8.02] Atque haec regula necessario sequitur ex rationibus allatis ad secundam; neque tamen existimandum est, hanc nihil noui continere ad eruditionem promouendam, etsi nos tantum a rerum quarumdam disquisitione arcere uideatur, non autem ullam ueritatem exponere: quippe Tyrones quidem nihil aliud docet, quam ne operam perdant, eadem fere ratione, qua secunda. Sed illis, qui praecedentes septem regulas perfecte nouerint, ostendit qua ratione possint in qualibet scientia sibi ipsis ita satisfacere, ut nihil ultra cupiant; nam quicumque priores exacte seruauerit circa alicuius difficultatis solutionem, et tamen alicubi sistere ab hac iubebitur, tunc certo cognoscet se scientiam quaesitam nulla prorsus industria posse inuenire, idque non ingenii culpa, sed quia obstat ipsius difficultatis natura, uel humana conditio. Quae cognitio non minor scientia est, quam illa quae rei ipsius naturam exhibet; et non ille uideretur sanae mentis, qui ulterius curiositatem extenderet. [8.03] Haec omnia uno aut altero exemplo illustranda sunt. Si, uerbi gratia, quaerat aliquis solius Mathematicae studiosus lineam illam, quam in Dioptrica anaclasticam uocant, |394| in qua scilicet radii paralleli ita refringantur, ut omnes post refractionem se in uno puncto intersecent: facile quidem animaduertet, iuxta regulas quintam et sextam, huius lineae determinationem pendere a proportione, quam seruant anguli refractionis ad angulos incidentiae; sed quia huius indagandae non erit capax, cum non ad Mathesim pertineat, sed ad Physicam, hic sistere cogetur in limine, neque aliquid aget, si hanc cognitionem uel a Philosophis audire, uel ab experientia uelit mutuari: peccaret enim in regulam tertiam. Ac praeterea haec propositio composita adhuc est et respectiua; atqui de rebus tantum pure simplicibus et absolutis experientiam certam haberi posse, dicetur suo loco. Frustra etiam proportionem inter eiusmodi angulos aliquam supponet, quam omnium uerissimam esse suspicabitur; tunc enim non amplius anaclasticam quaereret, sed tantum lineam, quae suppositionis suae rationem sequeretur. [8.04] Si uero aliquis, non solius Mathematicae studiosus, sed qui, iuxta regulam primam, de omnibus quae occurrunt ueritatem quaerere cupiat, in eamdem difficultatem inciderit, ulterius inueniet, hanc proportionem inter angulos incidentiae et refractionis pendere ab eorumdem mutatione propter uarietatem mediorum; rursum hanc mutationem pendere a modo, quo radius penetrat per totum diaphanum, atque huius penetrationis cognitionem supponere illuminationis naturam |395| etiam esse cognitam; denique ad illuminationem intelligendam sciendum esse, quid sit generaliter potentia naturalis, quod ultimum est in tota hac serie maxime absolutum. Hoc igitur postquam per intuitum mentis clare perspexerit, redibit per eosdem gradus, iuxta regulam quintam; atque si statim in secundo gradu illuminationis naturam non possit agnoscere, enumerabit, per regulam septimam, alias omnes potentias naturales, ut ex alicuius alterius cognitione saltem per imitationem, de qua postea, hanc etiam intelligat; quo facto quaeret, qua ratione penetret radius per totum diaphanum; et ita ordine caetera persequetur, donec ad ipsam anaclasticam peruenerit. Quae etiamsi a multis frustra hactenus fuerit quaesita, nihil tamen uideo quod aliquem, nostra methodo perfecte utentem, ab illius euidenti cognitione possit impedire. [8.05] Sed demus omnium nobilissimum exemplum. Si quis pro quaestione sibi proponat, examinare ueritates omnes, ad quarum cognitionem humana ratio sufficiat (quod mihi uidetur semel in uita faciendum esse ab iis omnibus, qui serio student ad bonam mentem peruenire), ille profecto per regulas datas inueniet nihil prius cognosci posse quam intellectum, cum ab hoc caeterorum omnium cognitio dependeat, et non contra; perfectis deinde illis omnibus quae proxime sequuntur post intellectus puri cognitionem, inter caetera enumerabit quaecumque alia habemus instrumenta cognoscendi praeter intellectum, quae sunt tantum duo, nempe |396| phantasia et sensus. Omnem igitur collocabit industriam in distinguendis et examinandis illis tribus cognoscendi modis, uidensque ueritatem proprie uel falsitatem non nisi in solo intellectu esse posse, sed tantummodo ab aliis duobus suam saepe originem ducere, attendet diligenter ad illa omnia a quibus decipi potest, ut caueat; et enumerabit exacte uias omnes quae hominibus patent ad ueritatem, certam ut sequatur: neque enim tam multae sunt, quin facile omnes et per sufficientem enumerationem inueniat. Quodque mirum et incredibile uidebitur inexpertis, statim atque distinxerit circa singula obiecta cognitiones illas quae memoriam tantum implent uel ornant, ab iis propter quas uere aliquis magis eruditus dici debet, quod facile etiam assequetur...: sentiet omnino se nihil amplius ignorare ingenii defectu uel artis, neque quidquam prorsus ab alio homine sciri posse, cuius etiam non sit capax, modo tantum ad illud idem, ut par est, mentem applicet. Et quamuis multa saepe ipsi proponi possint, a quibus quaerendis per hanc regulam prohibebitur: quia tamen clare percipiet, illa eadem omnem humani ingenii captum excedere, non se idcirco magis ignarum esse arbitrabitur; sed hoc ipsum, quod sciet rem quaesitam a nemine sciri posse, si aequus est, curiositati suae sufficiet abunde. [8.06] Atqui ne semper incerti simus, quid possit animus, neque perperam et temere laboret, antequam ad res in particulari cognoscendas nos accingamus: oportet semel in uita diligenter quaesiuisse, quarumnam cognitionum |397| humana ratio sit capax. Quod ut melius fiat, ex aeque facilibus quae utiliora sunt, semper priora quaeri debent. [8.07] Haec methodus siquidem illas ex mechanicis artibus imitatur, quae non aliarum ope indigent, sed tradunt ipsaemet quomodo sua instrumenta facienda sint. Si quis enim unam ex illis, exempli gratia, fabrilem uellet exercere, omnibusque instrumentis esset destitutus, initio quidem uti cogeretur duro lapide, uel rudi aliqua ferri massa pro incude, saxum mallei loco sumere, ligna in forcipes aptare, aliaque eiusmodi pro necessitate colligere: quibus deinde paratis, non statim enses aut cassides, neque quidquam eorum quae fiunt ex ferro, in usus aliorum cudere conaretur; sed ante omnia malleos, incudem, forcipes, et reliqua sibi ipsi utilia fabricaret. Quo exemplo docemur, cum in his initiis nonnisi incondita quaedam praecepta, et quae uidentur potius mentibus nostris ingenita, quam arte parata, poterimus inuenire, non statim Philosophorum lites dirimere, uel soluere Mathematicorum nodos, illorum ope esse tentandum: sed iisdem prius utendum ad alia, quaecumque ad ueritatis examen magis necessaria sunt, summo studio perquirenda; cum praecipue nulla ratio sit, quare difficilius uideatur haec eadem inuenire, quam ullas quaestiones ex iis quae in Geometria uel Physica aliisque disciplinis solent proponi. [8.08] At uero nihil hic utilius quaeri potest, quam quid sit humana cognitio et quousque extendatur. Ideoque nunc hoc ipsum unica quaestione complectimur, quam |398| omnium primam per regulas iam ante traditas examinandam esse censemus; idque semel in uita ab unoquoque ex iis, qui tantillum amant ueritatem, esse faciendum, quoniam in illius inuestigatione uera instrumenta sciendi et tota methodus continentur. Nihil autem mihi uidetur ineptius, quam de naturae arcanis, coelorum in haec inferiora uirtute, rerum futurarum praedictione, et similibus, ut multi faciunt, audacter disputare, et ne quidem tamen unquam, utrum ad illa inuenienda humana ratio sufficiat, quaesiuisse. Neque res ardua aut difficilis uideri debet, eius, quod in nobis ipsis sentimus, ingenii limites definire, cum saepe de illis etiam, quae extra nos sunt et ualde aliena, non dubitemus iudicare. Neque immensum est opus, res omnes in hac uniuersitate contentas cogitatione uelle complecti, ut, quomodo singulae mentis nostrae examini subiectae sint, agnoscamus; nihil enim tam multiplex esse potest aut dispersum, quod per illam, de qua egimus, enumerationem certis limitibus circumscribi atque in aliquot capita disponi non possit. Ut autem hoc experiamur in quaestione proposita, primo, quidquid ad illam pertinet, in duo membra diuidimus: referri enim debet, uel ad nos qui cognitionis sumus capaces, uel ad res ipsas, quae cognosci possunt; quae duo separatim discutimus. [8.09] Et quidem in nobis aduertimus, solum intellectum esse scientiae capacem; sed a tribus aliis facultatibus hunc iuuari posse uel impediri, nempe ab imaginatione, sensu, et memoria. Videndum est igitur ordine, quid singulae ex his facultatibus obesse possint, ut |399| caueamus; uel prodesse, ut omnes illarum copias impendamus. Atque ita haec pars per sufficientem enumerationem erit discussa, ut ostendetur in sequenti propositione. [8.10] Veniendum deinde ad res ipsas, quae tantum spectandae sunt prout ab intellectu attinguntur; quo sensu diuidimus illas in naturas maxime simplices, et in complexas siue compositas. Ex simplicibus nullae esse possunt, nisi uel spirituales, uel corporeae, uel ad utrumque pertinentes; denique ex compositis alias quidem intellectus tales esse experitur, antequam de iisdem aliquid determinare iudicet; alias autem ipse componit. Quae omnia fusius exponentur in duodecima propositione, ubi demonstrabitur falsitatem nullam esse posse, nisi in his ultimis quae ab intellectu componuntur: quas idcirco adhuc distinguimus in illas, quae ex simplicissimis naturis et per se cognitis deducuntur, de quibus in toto sequenti libro tractabimus; et illas, quae alias etiam praesupponunt, quas a parte rei compositas esse experimur, quibus exponendis tertium librum integrum destinamus. [8.11] Et quidem in toto tractatu conabimur uias omnes, quae ad cognitionem ueritatis hominibus patent, tam accurate persequi et tam faciles exhibere, ut quicumque hanc totam methodum perfecte didicerit, quantumuis mediocri sit ingenio, uideat tamen nullas omnino sibi |400| potius quam caeteris esse interclusas, nihilque amplius se ignorare ingenii defectu uel artis. Sed quoties ad alicuius rei cognitionem mentem applicabit, uel illam omnino reperiet; uel certe ab aliquo experimento pendere perspiciet, quod in sua potestate non sit, ideoque non culpabit ingenium suum, quamuis ibi sistere cogatur; uel denique rem quaesitam omnem humani ingenii captum excedere demonstrabit, ac proinde non se idcirco magis ignarum esse arbitrabitur, quia non minor scientia est hoc ipsum quam quoduis aliud cognouisse. Regula IX Oportet ingenii aciem ad res minimas et maxime faciles totam conuertere, atque in illis diutius immorari, donec assuescamus ueritatem distincte et perspicue intueri. [9.01] Expositis duabus intellectus nostri operationibus, intuitu et deductione, quibus solis ad scientias addiscendas utendum esse diximus, pergimus in hac et sequenti propositione explicare, qua industria possimus aptiores reddi ad illas exercendas, et simul duas praecipuas ingenii facultates excolere, perspicacitatem scilicet, res singulas distincte intuendo, et sagacitatem, unas ex aliis artificiose deducendo. [9.02] Et quidem, quomodo mentis intuitu sit utendum, uel ex ipsa oculorum comparatione cognoscimus. Nam qui uult multa simul obiecta eodem intuitu respicere, |401| nihil illorum distincte uidet; et pariter, qui ad multa simul unico cogitationis actu solet attendere, confuso ingenio est. Sed Artifices illi, qui in minutis operibus exercentur, et oculorum aciem ad singula puncta attente dirigere consueuerunt, usu capacitatem acquirunt res quantumlibet exiguas et subtiles perfecte distinguendi; ita etiam illi, qui uariis simul obiectis cogitationem nunquam distrahunt, sed ad simplicissima quaeque et facillima consideranda totam semper occupant, fiunt perspicaces. [9.03] Est autem commune uitium Mortalibus, ut quae difficilia pulchriora uideantur; et plerique nihil se scire existimant, quando alicuius rei causam ualde perspicuam et simplicem uident, qui interim sublimes quasdam et alte petitas Philosophorum rationes admirantur, etiamsi illae ut plurimum fundamentis nitantur a nemine satis unquam perspectis, male sani profecto qui tenebras chariores habent quam lucem. [9.04] Assuescant igitur omnes oportet, tam pauca simul et tam simplicia cogitatione complecti, ut nihil unquam se scire putent, quod non aeque distincte intueantur, |402| ac illud quod omnium distinctissime cognoscunt. Ad quod quidem nonnulli longe aptiores nascuntur, quam caeteri, sed arte etiam et exercitio ingenia ad hoc reddi possunt longe aptiora; unumque est quod omnium maxime hic monendum mihi uidetur, nempe ut quisque firmiter sibi persuadeat, non ex magnis et obscuris rebus, sed ex facilibus tantum et magis obuiis, scientias quantumlibet occultas esse deducendas. [9.05] Nam, exempli gratia, si uelim examinare, utrum aliqua potentia naturalis possit eodem instanti transire ad locum distantem, et per totum medium, non statim ad magnetis uim, uel astrorum influxus, sed ne quidem ad illuminationis celeritatem, mentem conuertam, ut inquiram utrum forte tales actiones fiant in instanti: hoc enim difficilius possem probare quam quod quaeritur; sed potius ad motus locales corporum reflectam, quia nihil in toto hoc genere magis sensibile esse potest. Et aduertam lapidem quidem non posse in instanti ex uno loco ad alium peruenire, quia corpus est; potentiam uero, similem illi quae lapidem mouet, nonnisi in instanti communicari, si ex uno subiecto ad aliud nuda perueniat. Ver. gr., si quantumuis longissimi baculi unam extremitatem moueam, facile concipio potentiam, per quam illa pars baculi mouetur, uno et eodem instanti alias etiam omnes eius partes necessario mouere, quia tunc communicatur nuda, neque in aliquo corpore existit, ut in lapide, a quo deferatur. [9.05] Eodem modo, si agnoscere uelim, quomodo ab una et eadem simplici causa contrarii simul effectus possint |403| produci, non pharmaca a Medicis mutuabor, quae humores quosdam expellant, alios retineant; non de Luna hariolabor, illam per lumen calefacere, et refrigerare per qualitatem occultam: sed potius intuebor libram, in qua idem pondus uno et eodem instanti unam lancem eleuat, dum aliam deprimit, et similia. Regula X Ut ingenium fiat sagax, exerceri debet in iisdem quaerendis, quae iam ab aliis inuenta sunt, et cum methodo etiam leuissima quaeque hominum artificia percurrere, sed illa maxime quae ordinem explicant uel supponunt. [10.01] Eo me fateor natum esse ingenio, ut summam studiorum uoluptatem, non in audiendis aliorum rationibus, sed in iisdem propria industria inueniendis semper posuerim; quod me unum cum iuuenem adhuc ad scientias addiscendas allexisset, quoties nouum inuentum aliquis liber pollicebatur in titulo, antequam ulterius legerem, experiebar utrum forte aliquid simile per ingenitam quamdam sagacitatem assequerer, cauebamque exacte ne mihi hanc oblectationem innocuam festina lectio praeriperet. Quod toties successit, ut tandem animaduerterim, me non amplius, ut caeteri solent, per uagas et caecas disquisitiones, fortunae auxilio potius quam artis, ad rerum ueritatem peruenire; sed certas regulas, quae ad hoc non parum iuuant, longa experientia percepisse, quibus usus sum postea ad |404| plures excogitandas. Atque ita hanc totam methodum diligenter excolui, meque omnium maxime utilem studendi modum ab initio sequutum fuisse mihi persuasi. [10.02] Verum, quia non omnium ingenia tam propensa sunt a natura rebus proprio marte indagandis, haec propositio docet, non statim in difficilioribus et arduis nos occupari oportere, sed leuissimas quasque artes et simplicissimas prius esse discutiendas, illasque maxime, in quibus magis ordo regnat, ut sunt artificum qui telas et tapetia texunt, aut mulierum quae acu pingunt, uel fila intermiscent texturae infinitis modis uariatae; item omnes lusus numerorum et quaecumque ad Arithmeticam pertinent, et similia: quae omnia mirum quantum ingenia exerceant, modo non ab aliis illorum inuentionem mutuemur, sed a nobis ipsis. Cum enim nihil in illis maneat occultum, et tota cognitionis humanae capacitati aptentur, nobis distinctissime exhibent innumeros ordines, omnes inter se diuersos, et nihilominus regulares, in quibus rite obseruandis fere tota consistit humana sagacitas. Monuimusque idcirco, quaerenda esse illa cum methodo, quae in istis leuioribus non alia esse solet, quam ordinis, uel in ipsa re existentis, uel subtiliter excogitati, constans obseruatio: ut si uelimus legere scripturam ignotis characteribus uelatam, nullus quidem ordo hic apparet, sed tamen aliquem fingimus, tum ad examinanda omnia praeiudicia, quae circa singulas notas, aut uerba, aut sententias haberi possunt, tum |405| etiam ad illa ita disponenda, ut per enumerationem cognoscamus quidquid ex illis potest deduci. Et maxime cauendum est, ne in similibus casu et sine arte diuinandis tempus teramus; nam etiamsi illa saepe inueniri possunt sine arte, et a felicibus interdum celerius fortasse, quam per methodum, hebetarent tamen ingenii lumen, et ita puerilibus et uanis assuefacerent, ut postea semper in rerum superficiebus haereret, neque interius posset penetrare. Sed ne interim incidamus in errorem illorum, qui tantum rebus seriis et altioribus cogitationem occupant, de quibus post multos labores nonnisi confusam acquirunt scientiam, dum cupiunt profundam. In istis igitur facilioribus primum exerceamur oportet, sed cum methodo, ut per apertas et cognitas uias, quasi ludentes ad intimam rerum ueritatem semper penetrare assuescamus; nam hoc pacto sensim postea et tempore supra omnem spem breui nos etiam aequa facilitate propositiones plures, quae ualde difficiles apparent et intricatae, ex euidentibus principiis deducere posse sentiemus. [10.03] Mirabuntur autem fortasse nonnulli, quod hoc in loco, ubi qua ratione aptiores reddamur ad ueritates unas ab aliis deducendas, inquirimus, omittamus omnia Dialecticorum praecepta, quibus rationem humanam regere se putant, dum quasdam formas disserendi praescribunt, quae tam necessario concludunt, ut illis confisa ratio, etiamsi quodammodo ferietur ab ipsius |406| illationis euidenti et attenta consideratione, possit tamen interim aliquid certum ex ui formae concludere: quippe aduertimus elabi saepe ueritatem ex istis uinculis, dum interim illi ipsi, qui usi sunt, in iisdem manent irretiti. Quod aliis non tam frequenter accidit; atque experimur, acutissima quaeque sophismata neminem fere unquam, pura ratione utentem, sed ipsos Sophistas, fallere consueuisse. [10.04] Quamobrem hic nos praecipue cauentes ne ratio nostra ferietur, dum alicuius rei ueritatem examinamus, reiicimus istas formas [disserendi] ut aduersantes nostro instituto, et omnia potius adiumenta perquirimus, quibus cogitatio nostra retineatur attenta, sicut in sequentibus ostendetur. Atqui ut adhuc euidentius appareat, illam disserendi artem nihil omnino conferre ad cognitionem ueritatis, aduertendum est, nullum posse Dialecticos syllogismum arte formare, qui uerum concludat, nisi prius eiusdem materiam habuerint, id est, nisi eamdem ueritatem, quae in illo deducitur, iam ante cognouerint. Unde patet illos ipsos ex tali forma nihil noui percipere, ideoque uulgarem Dialecticam omnino esse inutilem rerum ueritatem inuestigare cupientibus, sed prodesse tantummodo interdum posse ad rationes iam cognitas facilius aliis exponendas, ac proinde illam ex Philosophia ad Rhetoricam esse transferendam. |407| Regula XI Postquam aliquot propositiones simplices sumus intuiti, si ex illis aliquid aliud concludamus, utile est easdem continuo et nullibi interrupto cogitationis motu percurrere, ad mutuos illorum respectus reflectere, et plura simul, quantum fieri potest, distincte concipere: ita enim et cognitio nostra longe certior fit, et maxime augetur ingenii capacitas. [11.01] Hic est occasio clarius exponendi quae de mentis intuitu ante dicta sunt, ad regulas tertiam et septimam: quoniam illum uno in loco deductioni opposuimus, in alio uero enumerationi tantum, quam definiuimus esse illationem ex multis et disiunctis rebus collectam; simplicem uero deductionem unius rei ex altera ibidem diximus fieri per intuitum. [11.02] Quod ita faciendum fuit, quia ad mentis intuitum duo requirimus: nempe ut propositio clare et distincte, deinde etiam ut tota simul et non successiue intelligatur. Deductio uero, si de illa facienda cogitemus, ut in regula tertia, non tota simul fieri uidetur, sed motum quemdam ingenii nostri unum ex alio inferentis inuoluit; atque idcirco ibi illam ab intuitu iure distinxerimus. Si uero ad eamdem, ut iam facta est, |408| attendamus, sicut in dictis ad regulam septimam, tunc nullum motum amplius designat, sed terminum motus, atque ideo illam per intuitum uideri supponimus, quando est simplex et perspicua, non autem quando est multiplex et inuoluta; cui enumerationis, siue inductionis nomen dedimus, quia tunc non tota simul ab intellectu potest comprehendi, sed eius certitudo quodammodo a memoria dependet, in qua iudicia de singulis partibus enumeratis retineri debent, ut ex illis omnibus unum quid colligatur. [11.03] Atque haec omnia ad huius regulae interpretationem erant distinguenda; nam postquam nona egit de mentis intuitu tantum, decima de enumeratione sola, haec explicat quo pacto hae duae operationes se mutuo iuuent et perficiant, adeo ut in unam uideantur coalescere, per motum quemdam cogitationis singula attente intuentis simul et ad alia transeuntis. [11.04] Cuius rei duplicem utilitatem designamus: nempe ad conclusionem, circa quam uersamur, certius cognoscendam, et ad ingenium aliis inueniendis aptius reddendum. Quippe memoria, a qua pendere dictum est certitudinem conclusionum, quae plura complectuntur quam uno intuitu capere possimus, cum labilis sit et infirma, reuocari debet et firmari per continuum hunc et repetitum cogitationis motum: ut si per plures operationes cognouerim primo, qualis sit habitudo inter magnitudines primam et secundam, deinde inter secundam et tertiam, tum inter tertiam et quartam, |409| ac denique inter quartam et quintam, non idcirco uideo qualis sit inter primam et quintam, nec possum deducere ex iam cognitis, nisi omnium recorder; quamobrem mihi necesse est illas iterata cogitatione percurrere, donec a prima ad ultimam tam celeriter transierim, ut fere nullas memoriae partes relinquendo rem totam simul uidear intueri. [11.05] Qua quidem ratione ingenii tarditatem emendari nemo non uidet, et illius etiam amplificari capacitatem. Sed insuper aduertendum est, maximam huius regulae utilitatem in eo consistere, quod ad mutuam simplicium propositionum dependentiam reflectendo, usum acquiramus subito distinguendi, quid sit magis uel minus respectiuum, et quibus gradibus ad absolutum reducatur. Exempli gratia, si percurram aliquot magnitudines continue proportionales, ad haec omnia reflectam: nempe, pari conceptu et non magis uel minus facili me agnoscere habitudinem inter primam et secundam, secundam et tertiam, tertiam et quartam, et caetera; non autem me posse tam facile concipere, qualis sit dependentia secundae a prima et tertia simul, et adhuc multo difficilius eiusdem secundae a prima et quarta, et caetera. Ex quibus deinde cognosco, quam ob causam, si datae sint prima et secunda tantum, facile possim inuenire tertiam et quartam, et caetera: quia scilicet hoc fit per conceptus particulares et distinctos. Si uero datae sint prima et tertia tantum, non tam facile |410| mediam agnoscam, quia hoc fieri non potest, nisi per conceptum, qui duos ex prioribus simul inuoluat. Si prima et quarta solae sint datae, adhuc difficilius duas medias intuebor, quia hic tres simul conceptus implicantur. Adeo ut, ex consequenti, difficilius etiam uideretur ex prima et quinta tres medias inuenire; sed alia ratio est quare aliter contingat: quia, scilicet, etiamsi hic quatuor conceptus simul iuncti sint, possunt tamen separari, cum quatuor per alium numerum diuidatur; adeo ut possim quaerere tertiam solam ex prima et quinta, deinde secundam ex prima et tertia, etc. Ad quae et similia qui reflectere consueuit, quoties nouam quaestionem examinat, statim agnoscit, quid in illa pariat difficultatem, et quis sit omnium simplicissimus modus quod maximum est ad ueritatis cognitionem adiumentum. Regula XII Denique omnibus utendum est intellectus, imaginationis, sensus, et memoriae auxiliis: tum ad propositiones simplices distincte intuendas; tum ad quaesita cum cognitis rite componenda, ut agnoscantur; tum ad illa inuenienda, quae ita inter se debeant conferri, ut nulla pars industriae humanae omittatur. [12.01] Haec regula concludit omnia quae supra dicta sunt, |411| et docet in genere quae in particulari erant explicanda, hoc pacto. [12.02] Ad rerum cognitionem duo tantum spectanda sunt, nos scilicet qui cognoscimus, et res ipsae cognoscendae. In nobis quatuor sunt facultates tantum, quibus ad hoc uti possimus: nempe intellectus, imaginatio, sensus, et memoria. Solus intellectus equidem percipiendae ueritatis est capax, qui tamen iuuandus est ab imaginatione, sensu, et memoria, ne quid forte, quod in nostra industria positum sit, omittamus. Ex parte rerum tria examinare sufficit: nempe id primum quod sponte obuium est, deinde quomodo unum quid ex alio cognoscatur, et denique quaenam ex quibusque deducantur. Atque haec enumeratio mihi uidetur completa, nec ulla prorsus omittere, ad quae humana industria possit extendi. [12.03] Ad primum itaque me conuertens, optarem exponere hoc in loco, quid sit mens hominis, quid corpus, quo modo hoc ab illa informetur, quaenam sint in toto composito facultates rebus cognoscendis inseruientes, et quid agant singulae: nisi nimis angustus mihi uideretur ad illa omnia capienda, quae praemittenda sunt, antequam harum rerum ueritas possit omnibus patere. Cupio enim semper ita scribere, ut nihil asseram ex iis quae in controuersiam adduci solent, nisi praemiserim |412| easdem rationes, quae me eo deduxerunt, et quibus existimo alios etiam posse persuaderi. [12.04] Sed quia iam hoc non licet, mihi sufficiet quam breuissime potero explicare, quisnam modus concipiendi illud omne, quod in nobis est ad res cognoscendas, sit maxime utilis ad meum institutum. Neque credetis, nisi lubet, rem ita se habere; sed quid impediet quominus easdem suppositiones sequamini, si appareat nihil illas ex rerum ueritate minuere, sed tantum reddere omnia longe clariora? Non secus quam in Geometria quaedam de quantitate supponitis, quibus nulla ratione demonstrationum uis infirmatur, quamuis saepe aliter in Physica de eius natura sentiatis. [12.05] Concipiendum est igitur, primo, sensus omnes externos, in quantum sunt partes corporis, etiamsi illos applicemus ad obiecta per actionem, nempe per motum localem, proprie tamen sentire per passionem tantum, eadem ratione qua cera recipit figuram a sigillo. Neque hoc per analogiam dici putandum est; sed plane eodem modo concipiendum, figuram externam corporis sentientis realiter mutari ab obiecto, sicut illa, quae est in superficie cerae, mutatur a sigillo. Quod non modo admittendum est, cum tangimus aliquod corpus ut figuratum, uel durum, uel asperum, etc., sed etiam cum tactu percipimus calorem, uel frigus, et similia. Item in aliis sensibus: nempe primum opacum, quod est in oculo, ita recipere figuram impressam ab illuminatione uariis coloribus induta; et primam aurium, |413| narium, et linguae cutem, obiecto imperuiam, ita nouam quoque figuram mutuari a sono, odore, et sapore. [12.06] Atque haec omnia ita concipere multum iuuat, cum nihil facilius sub sensum cadat quam figura: tangitur enim et uidetur. Nihil autem falsum ex hac suppositione magis quam ex alia quauis sequi, demonstratur ex eo, quod tam communis et simplex sit figurae conceptus, ut inuoluatur in omni sensibili. Ver. gr., colorem supponas esse quidquid uis, tamen eumdem extensum esse non negabis, et per consequens figuratum. Quid igitur sequetur incommodi, si, cauentes ne aliquod nouum ens inutiliter admittamus et temere fingamus, non negemus quidem de colore quidquid aliis placuerit, sed tantum abstrahamus ab omni alio, quam quod habeat figurae naturam, et concipiamus diuersitatem, quae est inter album, coeruleum, rubrum, etc., ueluti illam quae est inter has aut similes figuras, etc.? Idemque de omnibus dici potest, cum figurarum infinitam multitudinem omnibus rerum sensibilium differentiis exprimendis sufficere sit certum. [12.07] Secundo, concipiendum est, dum sensus externus |414| mouetur ab obiecto, figuram quam recipit deferri ad aliam quamdam corporis partem, quae uocatur sensus communis, eodem instanti et absque ullius entis reali transitu ab uno ad aliud: plane eodem modo, quo nunc, dum scribo, intelligo eodem instanti quo singuli characteres in charta exprimuntur, non tantum inferiorem calami partem moueri, sed nullum in hac uel minimum motum esse posse, quin simul etiam in toto calamo recipiatur; atque illas omnes motuum diuersitates etiam a superiori eius parte in ae''re designari, etiamsi nihil reale ab uno extremo ad aliud transmigrare concipiam. Quis enim putet minorem esse connexionem inter partes corporis humani, quam inter illas calami, et quid simplicius excogitari potest ad hoc exprimendum? [12.08] Tertio, concipiendum est, sensum communem fungi etiam uice sigilli ad easdem figuras uel ideas, a sensibus externis puras et sine corpore uenientes, in phantasia uel imaginatione ueluti in cera formandas; atque hanc phantasiam esse ueram partem corporis, et tantae magnitudinis, ut diuersae eius portiones plures figuras ad inuicem distinctas induere possint, illasque diutius soleant retinere: tuncque eadem est quae memoria appellatur. [12.09] Quarto, concipiendum est, uim motricem siue ipsos neruos originem suam ducere a cerebro, in quo phantasia est, a qua illi diuersimode mouentur, ut sensus communis a sensu externo, siue ut totus calamus a parte sui inferiore. Quod exemplum etiam ostendit, |415| quomodo phantasia possit esse causa multorum motuum in neruis, quorum tamen imagines non habeat in se expressas, sed alias quasdam, ex quibus isti motus consequi possint: neque enim totus calamus mouetur, ut pars eius inferior; quinimo, secundum maiorem sui partem, plane diuerso et contrario motu uidetur incedere. Atque ex his intelligere licet, quomodo fieri possint omnes aliorum animalium motus, quamuis in illis nulla prorsus rerum cognitio, sed phantasia tantum pure corporea admittatur; item etiam, quomodo fiant in nobis ipsis omnes operationes illae, quas peragimus absque ullo ministerio rationis. [12.10] Quinto denique, concipiendum est, uim illam, per quam res proprie cognoscimus, esse pure spiritualem, atque a toto corpore non minus distinctam, quam sit sanguis ab osse, uel manus ab oculo; unicamque esse, quae uel accipit figuras a sensu communi simul cum phantasia, uel ad illas quae in memoria seruantur se applicat, uel nouas format, a quibus imaginatio ita occupatur, ut saepe simul non sufficiat ad ideas a sensu communi accipiendas, uel ad easdem ad uim motricem iuxta puri corporis dispositionem transferendas. In quibus omnibus haec uis cognoscens interdum patitur, interdum agit, et modo sigillum, modo ceram imitatur; quod tamen per analogiam tantum hic est sumendum, neque enim in rebus corporeis aliquid omnino huic simile inuenitur. Atque una et eadem est uis, quae, si applicet se cum imaginatione ad sensum communem, |416| dicitur uidere, tangere, etc.; si ad imaginationem solam ut diuersis figuris indutam, dicitur reminisci; si ad eamdem ut nouas fingat, dicitur imaginari uel concipere; si denique sola agat, dicitur intelligere: quod ultimum quomodo fiat, fusius exponam suo loco. Et eadem etiam idcirco iuxta has functiones diuersas uocatur uel intellectus purus, uel imaginatio, uel memoria, uel sensus; proprie autem ingenium appellatur, cum modo ideas in phantasia nouas format, modo iam factis incumbit; consideramusque illam ut diuersis istis operationibus aptam, atque horum nominum distinctio erit in sequentibus obseruanda. His autem omnibus ita conceptis, facile colliget attentus Lector, quaenam petenda sint ab unaquaque facultate auxilia, et quousque hominum industria ad supplendos ingenii defectus possit extendi. [12.11] Nam cum intellectus moueri possit ab imaginatione, uel contra agere in illam; item imaginatio possit agere in sensus per uim motricem illos applicando ad obiecta, uel contra ipsi in illam, in qua scilicet corporum imagines depingunt memoria uero illa, saltem quae corporea est et similis recordationi brutorum, nihil sit ab imaginatione distinctum: certo concluditur, si intellectus de illis agat, in quibus nihil sit corporeum uel corporeo simile, illum non posse ab istis facultatibus adiuuari; sed contra, ne ab iisdem impediatur, esse arcendos sensus, atque imaginationem, quantum fieri poterit, omni impressione distincta exuendam. Si uero intellectus examinandum aliquid sibi proponat, quod referri possit ad corpus, eius idea, quam distinctissime |417| poterit, in imaginatione est formanda; ad quod commodius praestandum, res ipsa quam haec idea repraesentabit, sensibus externis est exhibenda. Neque plura intellectum iuuare possunt ad res singulas distincte intuendas. Ut uero ex pluribus unum quid [intellectus] deducat, quod saepe faciendum est, reiiciendum ex rerum ideis quidquid praesentem attentionem non requiret, ut facilius reliqua possint in memoria retineri; atque eodem modo, non tunc res ipsae sensibus externis erunt proponendae, sed potius compendiosae illarum quaedam figurae, quae, modo sufficiant, ad cauendum memoriae lapsum, quo breuiores, eo commodiores existent. Atque haec omnia quisquis obseruabit, nihil omnino mihi uidebitur eorum, quae ad hanc partem pertinent, omisisse. [12.12] Iam ut quoque secundum aggrediamur, et ut accurate distinguamus simplicium rerum notiones ab istis quae ex iisdem componuntur, ac uideamus in utrisque, ubinam falsitas esse possit, ut caueamus, et quaenam certo possint cognosci, ut his solis incumbamus: hic loci, quemadmodum in superioribus, quaedam assumenda sunt quae fortasse non apud omnes sunt in confesso; sed parum refert, etsi non magis uera esse credantur, quam circuli illi imaginabiles, quibus Astronomi phaenomena sua describunt, modo illorum ope, qualis de qualibet re cognitio uera esse possit aut falsa, distinguatis. |418| [12.13] Dicimus igitur primo, aliter spectandas esse res singulas in ordine ad cognitionem nostram, quam si de iisdem loquamur prout reuera existunt. Nam si, uerbi gratia, consideremus aliquod corpus extensum et figuratum, fatebimur quidem illud, a parte rei, esse quid unum et simplex: neque enim, hoc sensu, compositum dici posset ex natura corporis, extensione, et figura, quoniam hae partes nunquam unae ab aliis distinctae exstiterunt; respectu uero intellectus nostri, compositum quid ex illis tribus naturis appellamus, quia prius singulas separatim intelleximus, quam potuimus iudicare illas tres in uno et eodem subiecto simul inueniri. Quamobrem hic de rebus non agentes, nisi quantum ab intellectu percipiuntur, illas tantum simplices uocamus, quarum cognitio tam perspicua est et distincta, ut in plures magis distincte cognitas mente diuidi non possint: tales sunt figura, extensio, motus, etc.; reliquas autem omnes quodam modo compositas ex his esse concipimus. Quod adeo generaliter est sumendum, ut nequidem excipiantur illae, quas interdum ex simplicibus ipsis abstrahimus: ut fit, si dicamus figuram esse terminum rei extensae, concipientes per terminum aliquid magis generale quam per figuram, quia scilicet dici potest etiam terminus durationis, terminus motus, etc. Tunc enim, etiamsi termini significatio a figura abstrahatur, non tamen idcirco magis simplex uideri debet quam sit figura; sed potius, cum |419| aliis etiam rebus tribuatur, ut extremitati durationis uel motus etc., quae res a figura toto genere differunt, ab his etiam debuit abstrahi, ac proinde est quid compositum ex pluribus naturis plane diuersis, et quibus non nisi aequiuoce applicatur. [12.14] Dicimus secundo, res illas, quae respectu nostri intellectus simplices dicuntur, esse uel pure intellectuales, uel pure materiales, uel communes. Pure intellectuales illae sunt, quae per lumen quoddam ingenitum, et absque ullius imaginis corporeae adiumento ab intellectu cognoscuntur: tales enim nonnullas esse certum est, nec ulla fingi potest idea corporea quae nobis repraesentet, quid sit cognitio, quid dubium, quid ignorantia, item quid sit uoluntatis actio, quam uolitionem liceat appellare, et similia; quae tamen omnia reuera cognoscimus, atque tam facile, ut ad hoc sufficiat, nos rationis esse participes. Pure materiales illae sunt, quae non nisi in corporibus esse cognoscuntur: ut sunt figura, extensio, motus, etc. Denique communes dicendae sunt, quae modo rebus corporeis, modo spiritibus sine discrimine tribuuntur, ut existentia, unitas, duratio, et similia. Huc etiam referendae sunt communes illae notiones, quae sunt ueluti uincula quaedam ad alias naturas simplices inter se coniungendas, et quarum euidentia nititur quidquid ratiocinando concludimus. Hae scilicet: quae sunt eadem uni tertio, sunt eadem inter se; item, quae ad idem tertium eodem modo referri non possunt, aliquid etiam inter se habent diuersum, etc. Et quidem hae communes possunt uel ab intellectu puro |420| cognosci, uel ab eodem imagines rerum materialium intuente. [12.15] Caeterum, inter has naturas simplices, placet etiam numerare earumdem priuationes et negationes, quatenus a nobis intelliguntur: quia non minus uera cognitio est, per quam intueor, quid sit nihil, uel instans, uel quies, quam illa per quam intelligo, quid sit existentia, uel duratio, uel motus. Iuuabitque hic concipiendi modus, ut possimus deinceps dicere reliqua omnia quae cognoscemus, ex istis naturis simplicibus composita esse: ut si iudicem aliquam figuram non moueri, dicam meam cogitationem esse aliquo modo compositam ex figura et quiete; et sic de caeteris. [12.15] Dicimus tertio, naturas illas simplices esse omnes per se notas, et nunquam ullam falsitatem continere. Quod facile ostendetur, si distinguamus illam facultatem intellectus, per quam res intuetur et cognoscit, ab ea qua iudicat affirmando uel negando; fieri enim potest ut illa quae reuera cognoscimus, putemus nos ignorare, nempe si in illis praeter id ipsum quod intuemur, siue quod attingimus cogitando, aliquid aliud nobis occultum inesse suspicemur, atque haec nostra cogitatio sit falsa. Qua ratione euidens est nos falli, si quando aliquam ex naturis istis simplicibus a nobis totam non cognosci iudicemus; nam si de illa uel minimum quid mente attingamus, quod profecto necessarium est, cum de eadem nos aliquid iudicare supponatur, ex hoc ipso concludendum est, nos totam illam cognoscere; neque enim aliter simplex dici potest, sed |421| composita ex hoc quod in illa percipimus, et ex eo quod iudicamus nos ignorare. [12.16] Dicimus quarto, coniunctionem harum rerum simplicium inter se esse uel necessariam uel contingentem. Necessaria est, cum una in alterius conceptu confusa quadam ratione ita implicatur, ut non possimus alterutram distincte concipere, si ab inuicem seiunctas esse iudicemus: hoc pacto figura extensioni coniuncta est, motus durationi, siue tempori, etc., quia nec figuram omni extensione carentem, nec motum omni duratione, concipere licet. Ita etiam si dico, quatuor et tria sunt septem, haec compositio necessaria est; neque enim septenarium distincte concipimus, nisi in illo ternarium et quaternarium confusa quadam ratione includamus. Atque eodem modo, quidquid circa figuras uel numeros, demonstratur, necessario continuum est cum eo de quo affirmatur. Neque tantum in sensibilibus haec necessitas reperitur, sed etiam, ex. gr., si Socrates dicit se dubitare de omnibus, hinc necessario sequitur: ergo hoc saltem intelligit, quod dubitat; item, ergo cognoscit aliquid posse esse uerum uel falsum, etc., ista enim naturae dubitationis necessario annexa sunt. Contingens uero est illarum [rerum simplicium] unio, quae nulla inseparabili relatione coniunguntur: ut cum dicimus, corpus esse animatum, hominem esse uestitum, etc. Atque etiam multa saepe necessario inter se coniuncta sunt, quae inter contingentia numerantur a plerisque, qui illorum relationem non animaduertunt, ut haec propositio: sum, ergo Deus est; item, |422| intelligo, ergo mentem habeo a corpore distinctam, etc. Denique notandum est, plurimarum propositionum, quae necessariae sunt, conuersas esse contingentes: ut quamuis ex eo quod sim, certo concludam Deum esse, non tamen ex eo quod Deus sit, me etiam existere licet affirmare. [12.17] Dicimus quinto, nihil nos unquam intelligere posse, praeter istas naturas simplices, et quamdam illarum inter se mixturam siue compositionem; et quidem saepe facilius est plures inter se coniunctas simul aduertere, quam unicam ab aliis separare: nam, exempli gratia, possum cognoscere triangulum, etiamsi nunquam cogitauerim in illa cognitione contineri etiam cognitionem anguli, lineae, numeri ternarii, figurae, extensionis, etc.; quod tamen non obstat, quominus dicamus trianguli naturam esse compositam ex omnibus istis naturis, atque easdem esse triangulo notiores, cum hae ipsae sint, quae in illo intelliguntur; atque in eodem praeterea aliae fortasse multae inuoluuntur quae nos latent, ut magnitudo angulorum, qui sunt aequales duobus rectis, et innumerae relationes, quae sunt inter latera et angulos, uel capacitatem areae, etc. [12.18] Dicimus sexto, naturas illas, quas compositas appellamus, a nobis cognosci, uel quia experimur quales sint, uel quia nos ipsi componimus. Experimur quidquid sensu percipimus, quidquid ex aliis audimus, et generaliter quaecumque ad intellectum nostrum, uel aliunde perueniunt, uel ex sui ipsius comtemplatione |423| reflexa. Ubi notandum est, intellectum a nullo unquam experimento decipi posse, si praecise tantum intueatur rem sibi obiectam, prout illam habet uel in se ipso uel in phantasmate, neque praeterea iudicet imaginationem fideliter referre sensuum obiecta, nec sensus ueras rerum figuras induere, nec denique res externas tales semper esse quales apparent; in his enim omnibus errori sumus obnoxii: ut si quis fabulam nobis narrauerit, et rem gestam esse credamus; si icterico morbo laborans flaua omnia esse iudicet, quia oculum habet flauo colore tinctum; si denique laesa imaginatione, ut melancholicis accidit, turbata eius phantasmata res ueras repraesentare arbitremur. Sed haec eadem sapientis intellectum non fallent, quoniam, quidquid ab imaginatione accipiet, uere quidem in illa depictum esse iudicabit; nunquam tamen asseret illud idem integrum et absque ulla immutatione a rebus externis ad sensus, et a sensibus ad phantasiam defluxisse, nisi prius hoc ipsum alia aliqua ratione cognouerit. Componimus autem nos ipsi res quas intelligimus, quoties in illis aliqui inesse credimus, quod nullo experimento a mente nostra immediate perceptum est: ut si ictericus sibi persuadeat res uisas esse flauas, haec eius cogitatio erit composita, ex eo quod illi phantasia sua repraesentat, et eo quod assumit de suo, nempe colorem flauum apparere, non ex oculi uitio, sed quia res uisae reuera sunt flauae. Unde concluditur, nos falli tantum posse, dum res quas credimus a nobis ipsis aliquod modo componuntur. |424| [12.19] Dicimus septimo, hanc compositionem tribus modis fieri posse: nempe per impulsum, per coniecturam, uel per deductionem. Per impulsum sua de rebus iudicia componunt illi, qui ad aliquid credendum suo ingenio feruntur, nulla ratione persuasi, sed tantum determinati, uel a potentia aliqua superiori, uel a propria libertate, uel a phantasiae dispositione: prima nunquam fallit, secunda raro, tertia fere semper; sed prima ad hunc locum non pertinet, quia sub artem non cadit. Per coniecturam, ut si, ex eo quod aqua, a centro remotior quam terra, sit etiam tenuioris substantiae, item ae''r, aqua superior, sit etiam illa rarior, coniiciamus supra ae''rem nihil esse quam aetherem aliquem purissimum, et ipso ae''re longe tenuiorem, etc. Quidquid autem hac ratione componimus, non quidem nos fallit, si tantum probabile esse iudicemus atque nunquam uerum esse affirmemus, sed etiam doctiores nos facit. [12.20] Superest igitur sola deductio, per quam res ita componere possimus, ut certi simus de illarum ueritate; in qua tamen etiam plurimi defectus esse possunt: ut si, ex eo, quod in hoc spatio ae''ris pleno nihil, nec uisu, nec tactu, nec ullo alio sensu percipimus, concludamus illud esse inane, male coniungentes naturam uacui cum illa huius spatii; atque ita fit, quoties ex re particulari uel contingenti aliquid generale et necessarium deduci posse iudicamus. Sed hunc errorem uitare in nostra potestate situm est, nempe, si nulla unquam inter se coniungamus, nisi unius cum altero coniunctionem omnino necessariam esse intueamur: ut si deducamus nihil esse posse figuratum, quod non sit extensum, ex eo quod figura necessariam habeat cum extensione coniunctionem, etc. [12.21] Ex quibus omnibus colligitur primo, distincte, atque ut opinor, per sufficientem enumerationem nos exposuisse id quod initio tantum confuse et rudi Minerua potueramus ostendere: nempe nullas uias hominibus patere ad cognitionem certam ueritatis, praeter euidentem intuitum, et necessariam deductionem; item etiam, quid sint naturae illae simplices, de quibus in octaua propositione. Atque perspicuum est, intuitum mentis, tum ad illas omnes extendi, tum ad necessarias illarum inter se connexiones cognoscendas, tum denique ad reliqua omnia quae intellectus praecise, uel in se ipso, uel in phantasia esse experitur. De deductione uero plura dicentur in sequentibus. [12.22] Colligitur secundo, nullam operam in naturis istis simplicibus cognoscendis esse collocandam, quia per se sunt satis notae; sed tantummodo in illis ab inuicem separandis, et singulis seorsim defixa mentis acie intuendis. Nemo enim tam hebeti ingenio est, qui non percipiat se, dum sedet, aliquo modo differre a se ipso, dum pedibus insistit; sed non omnes aeque distincte |426| separant naturam situs a reliquo eo quod in illa cogitatione continetur, nec possunt asserere nihil tunc immutari praeter situm. Quod non frustra hic monemus, quia saepe litterati tam ingeniosi esse solent, ut inuenerint modum caecutiendi etiam in illis quae per se euidentia sunt atque a rusticis nunquam ignorantur; quod illis accidit, quotiescumque res istas per se notas per aliquid euidentius tentant exponere: uel enim aliud explicant, uel nihil omnino; nam quis non percipit illud omne quodcumque est, secundum quod immutamur, dum mutamus locum, et quis est qui conciperet eamdem rem, cum dicitur illi, locum esse superficiem corporis ambientis? cum superficies ista possit mutari, me immoto et locum non mutante; uel contra mecum ita moueri, ut quamuis eadem me ambiat, non tamen amplius sim in eodem loco. At uero nonne uidentur illi uerba magica proferre, quae uim habeant occultam et supra captum humani ingenii, qui dicunt motum, rem unicuique notissimam, esse actum entis in potentia, prout est in potentia? quis enim intelligit haec uerba? quis ignorat quid sit motus? et quis non fateatur illos nodum in scirpo quaesiuisse? Dicendum est igitur, nullis unquam definitionibus eiusmodi res esse explicandas, ne loco simplicium compositas apprehendamus; sed illas tantum, ab aliis omnibus |427| secretas, attente ab unoquoque et pro lumine ingenii sui esse intuendas. [12.23] Colligitur tertio, omnem humanam scientiam in hoc uno consistere, ut distincte uideamus, quomodo naturae istae simplices ad compositionem aliarum rerum simul concurrant. Quod perutile est annotare; nam quoties aliqua difficultas examinanda proponitur, fere omnes haerent in limine, incerti quibus cogitationibus mentem debeant praebere, et rati quaerendum esse nouum aliquod genus entis sibi prius ignotum: ut si petatur quid sit magnetis natura, illi protinus, quia rem arduam et difficilem esse augurantur, ab iis omnibus quae euidentia sunt animum remouentes, eumdem ad difficillima quaeque conuertunt, et uagi exspectant utrum forte per inane causarum multarum spatium oberrando aliquid noui sit reperturus. Sed qui cogitat, nihil in magnete posse cognosci, quod non constet ex simplicibus quibusdam naturis et per se notis, non incertus quid agendum sit, primo diligenter colligit illa omnia quae de hoc lapide habere potest experimenta, ex quibus deinde deducere conatur qualis necessaria sit naturarum simplicium mixtura ad omnes illos, quos in magnete expertus est, effectus producendos; qua semel inuenta, audacter potest asserere, se ueram percepisse magnetis naturam, quantum ab homine et ex datis experimentis potuit inueniri. [12.24] Denique colligitur quarto, ex dictis, nullas rerum cognitiones unas aliis obscuriores esse putandas, cum |428| omnes eiusdem sint naturae, et in sola rerum per se notarum compositione consistant. Quod fere nulli aduertunt, sed contraria opinione praeuenti, confidentiores quidem coniecturas suas tanquam ueras demonstrationes asserere sibi permittunt, atque in rebus, quas prorsus ignorant, obscuras saepe ueritates quasi per nebulam se uidere praesagiunt; quas proponere non uerentur, conceptus suos quibusdam uerbis alligantes, quorum ope multa disserere et consequenter loqui solent, sed quae reuera nec ipsi, nec audientes intelligunt. Modestiores uero a multis examinandis saepe abstinent, quamuis facilibus atque apprime necessariis ad uitam, quia tantum se illis impares putant; cumque eadem ab aliis maiori ingenio praeditis percipi posse existiment, illorum sententias amplectuntur, quorum auctoritati magis confidunt. [12.25] Dicimus quinto, deduci tantum posse, uel res ex uerbis, uel causam ab effectu, uel effectum a causa, uel simile ex simili, uel partes siue totum ipsum ex partibus... [12.26] Caeterum, ne quem forte lateat praeceptorum nostrorum catenatio, diuidimus quidquid cognosci potest in propositiones simplices, et quaestiones. Ad propositiones simplices, non alia praecepta tradimus, quam quae uim cognoscendi praeparant ad obiecta quaeuis distinctius intuenda et sagacius perscrutanda, quoniam hae sponte occurrere debent, nec quaeri possunt; |429| quod in duodecim prioribus praeceptis complexi sumus, et in quibus nos ea omnia exhibuisse existimamus, quae rationis usum aliquomodo faciliorem reddere posse arbitramur. Ex quaestionibus autem aliae intelliguntur perfecte, etiamsi illarum solutio ignoretur, de quibus solis agemus in duodecim regulis proxime sequentibus; aliae denique non perfecte intelliguntur, quas ad duodecim posteriores regulas reseruamus. Quam diuisionem non sine consilio inuenimus, tum ut nulla dicere cogamur quae sequentium cognitionem praesupponant, tum ut illa priora doceamus, quibus etiam ad ingenia excolenda prius incumbendum esse sentimus. Notandum est, inter quaestiones quae perfecte intelliguntur, nos illas tantum ponere, in quibus tria distincte percipimus: nempe, quibus signis id quod quaeritur possit agnosci, cum occurret; quid sit praecise, ex quo illud deducere debeamus; et quomodo probandum sit, illa ab inuicem ita pendere, ut unum nulla ratione possit mutari, alio immutato. Adeo ut habeamus omnes praemissas, nec aliud supersit docendum, quam quomodo conclusio inueniatur, non quidem ex una re simplici unum quid deducendo (hoc enim sine praeceptis fieri posse iam dictum est), sed unum quid ex multis simul implicatis dependens tam artificiose euoluendo, ut nullibi maior ingenii capacitas requiratur, quam ad simplicissimam illationem faciendam. Cuiusmodi quaestiones, quia abstractae sunt ut plurimum, et fere tantum in Arithmeticis uel Geometricis |430| occurrunt, parum utiles uidebuntur imperitis; moneo tamen in hac arte addiscenda diutius uersari debere et exerceri illos, qui posteriorem huius methodi partem, in qua de aliis omnibus tractamus, perfecte cupiant possidere. Regula XIII Si quaestionem perfecte intelligamus, illa est ab omni superfluo conceptu abstrahenda, ad simplicissimam reuocanda, et in quam minimas partes cum enumeratione diuidenda. [13.01] Atque in hoc uno Dialecticos imitamur, quod, sicut illi, ad syllogismorum formas tradendas, eorumdem terminos, siue materiam cognitam esse supponunt, ita etiam nos hic praerequirimus quaestionem esse perfecte intellectam. Non autem, ut illi, duo extrema distinguimus et medium; sed hoc pacto rem totam consideramus: primo, in omni quaestione necesse est aliquid esse ignotum, aliter enim frustra quaereretur; secundo, illud idem debet esse aliquo modo designatum, aliter enim non essemus determinati ad illud potius quam ad aliud quidlibet inuestigandum; tertio, non potest ita designari, nisi per aliud quid quod sit cognitum. Quae omnia reperiuntur etiam in quaestionibus imperfectis: ut si quaeratur qualis sit magnetis natura, id quod |431| intelligimus significari per haec duo uocabula, magnes et natura, est cognitum, a quo determinamur ad hoc potius quam ad aliud quaerendum, etc. Sed insuper ut quaestio sit perfecta, uolumus illam omnino determinari, adeo ut nihil amplius quaeratur, quam id quod deduci potest ex datis: ut si petat aliquis a me quid de natura magnetis sit inferendum praecise ex illis experimentis, quae Gilbertus se fecisse asserit, siue uera sint, siue falsa; item, si petat, quid de natura soni iudicem praecise tantum ex eo quod tres nerui A, B, C, aequalem edant sonum, inter quos ex suppositione B duplo crassior est quam A, sed non longior, et tenditur a pondere duplo grauiori; C uero non quidem crassior est quam A, sed duplo longior tantum, et tenditur tamen a pondere quadruplo grauiori, etc. Ex quibus facile percipitur, quomodo omnes quaestiones imperfectae ad perfectas reduci possint, ut fusius exponetur suo loco; et apparet etiam, quo modo haec regula possit obseruari, ad difficultatem bene intellectam ab omni superfluo conceptu abstrahendam, eoque reducendam, ut non amplius cogitemus nos circa hoc uel illud subiectum uersari, sed tantum in genere circa magnitudines quasdam inter se componendas: nam, uer. gr., postquam determinati sumus ad haec uel illa tantum de magnete experimenta spectanda, nulla superest difficultas in cogitatione nostra ab omnibus aliis remouenda. |432| [13.02] Additur praeterea, difficultatem esse ad simplicissimam reducendam, nempe iuxta regulas quintam et sextam, et diuidendam iuxta septimam: ut si magnetem examinem ex pluribus experimentis, unum post aliud separatim percurram; item si sonum, ut dictum est, separatim inter se comparabo neruos A et B, deinde A et C etc., ut postea omnia simul sufficienti enumeratione complectar. Atque haec tria tantum occurrunt circa alicuius propositionis terminos seruanda ab intellectu puro, antequam eius ultimam solutionem aggrediamur, si sequentium undecim regularum usu indigeat; quae quomodo facienda sint, ex tertia parte huius Tractatus clarius patebit. Intelligimus autem per quaetiones, illa omnia in quibus reperitur uerum uel falsum; quarum diuersa genera enumeranda sunt ad determinandum, quid circa unamquamque praestare ualeamus. [13.03] Iamiam diximus, in solo intuitu rerum, siue simplicium, siue copulatarum, falsitatem esse non posse; neque etiam hoc sensu quaestiones appellantur, sed nomen illud acquirunt, statim atque de iisdem iudicium aliquod determinatum ferre deliberamus. Neque enim illas petitiones tantum, quae ab aliis fiunt, inter quaestiones numeramus; sed de ipsa etiam ignorantia, siue potius dubitatione Socratis quaestio fuit, cum primum ad illam conuersus Socrates coepit inquirere, an uerum esset se de omnibus dubitare, atque hoc ipsum asseruit. [13.04] Quaerimus autem uel res ex uerbis, uel ex effectibus causas, uel ex causis effectus, uel ex partibus totum, siue alias partes, uel denique plura simul ex istis. [13.05] Res ex uerbis quaeri dicimus, quoties difficultas in orationis obscuritate consistit; atque huc referuntur non solum omnia aenigmata, quale fuit illud Sphingis de animali, quod initio est quadrupes, deinde bipes, et tandem postea fit tripes; item, illud piscatorum qui, stantes in littore, hamis et arundinibus ad pisces capiendos instructi, aiebant se non habere amplius illos quos ceperant, sed uice uersa se habere illos quos nondum capere potuerant, etc.; sed praeterea in maxima parte eorum de quibus litterati disputant, fere semper de nomine quaestio est. Neque oportet de maioribus ingeniis tam male sentire, ut arbitremur illos res ipsas male concipere, quoties easdem non satis aptis uerbis explicant: si quando, ex. gr., superficiem corporis ambientis uocant locum, nullam rem falsam reuera concipiunt, sed tantum nomine loci abutuntur, quod ex usu communi significat illam naturam simplicem et per se notam, ratione cuius aliquid dicitur hic esse uel ibi; quae tota in quadam relatione rei, quae dicitur esse in loco, ad partes spatii exterioris, consistit, et quam nonnulli, uidentes nomen loci a superficie ambiente esse occupatum, ubi intrinsecum improprie dixerunt, et sic |434| de caeteris. Atque hae quaestiones de nomine tam frequenter occurrunt ut, si de uerborum significatione inter Philosophos semper conueniret, fere omnes illorum controuersiae tollerentur. [13.06] Ex effectibus causae quaeruntur, quoties de aliqua re, utrum sit, uel quid sit, inuestigamus... [13.07] Caeterum quia, dum aliqua quaestio nobis soluenda proponitur, saepe non statim aduertimus, cuius illa generis existat, nec utrum res ex uerbis, uel causae ab effectibus etc., quaerantur: idcirco de his in particulari dicere plura, superuacaneum mihi uidetur. Breuius enim erit et commodius, si simul omnia quae facienda sunt ad cuiuslibet difficultatis solutionem ordine persequamur; ac proinde, qualibet data quaestione, imprimis enitendum est, ut distincte intelligamus, quid quaeratur. [13.08] Frequenter enim nonnulli in propositionibus inuestigandis ita festinant, ut ad illarum solutionem uagum ingenium applicent, antequam animaduerterint, quibusnam signis rem quaesitam, si forte occurrerit, internoscent: non minus inepti quam puer aliquo missus a domino, qui tam cupidus esset obsequendi, ut currere festinaret nondum mandatis acceptis, nec sciens quonam ire iuberetur. [13.09] At uero in omni quaestione, quamuis aliquid debeat esse incognitum, alioqui enim frustra quaereretur, oportet tamen hoc ipsum certis conditionibus ita esse |435| designatum, ut omnino simus determinati ad unum quid potius quam ad aliud inuestigandum. Atque hae sunt conditiones, quibus examinandis statim ab initio dicimus esse incumbendum: quod fiet, si ad singulas distincte intuendas mentis aciem conuertamus, inquirentes diligenter quantum ab unaquaque illud ignotum quod quaerimus sit limitatum; dupliciter enim hic falli solent humana ingenia, uel scilicet aliquid amplius quam datum sit assumendo ad determinandam quaestionem, uel contra aliquid omittendo. [13.10] Cauendum est, ne plura et strictiora, quam data sint, supponamus: praecipue in aenigmatis aliisque petitionibus artificiose inuentis ad ingenia circumuenienda, sed interdum etiam in aliis quaestionibus, quando ad illas soluendas aliquid quasi certum supponi uidetur, quod nulla nobis certa ratio, sed inueterata opinio persuasit. Exempli gratia, in aenigmate Sphingis, non putandum est, pedis nomen ueros tantum animalium pedes significare, sed uidendum etiam, utrum ad alia quaedam possit transferri, ut contingit, nempe ad manus infantis, et ad scipionem senum, quia utrique his utuntur quasi pedibus ad incedendum. Item, in illo [aenigmate] piscatorum, cauendum est ne cogitatio piscium ita mentem nostram occupauerit, ut illam auertat a cogitatione illorum animalium, quae saepe pauperes secum inuiti circumferunt, et capta reiiciunt. Item, si quaeratur quomodo constructum fuerit uas, quale uidimus |436| aliquando, in cuius medio stabat columna, cui imposita erat Tantali effigies quasi bibere gestientis; in hoc autem uase aqua quidem infusa optime continebatur, quamdiu non erat satis alta ut os Tantali ingrederetur; sed statim atque ad infelicia labra peruenerat, tota protinus effluebat: uidetur quidem prima fronte totum artificium fuisse in hac Tantali effigie construenda, quae tamen reuera nullo modo determinat quaestionem, sed illam tantum comitatur: tota enim difficultas in hoc uno consistit, ut quaeramus quo modo uas sit ita construendum, ut aqua ex eo tota effluat, statim atque ad certam altitudinem peruenerit, prius autem nullo modo. Item denique, si ex iis omnibus, quas circa astra habemus, obseruationibus quaeritur, quid de illorum motibus possimus asserere, non gratis assumendum est, terram esse immobilem atque in rerum medio constitutam, ut fecere Antiqui, quia nobis ab infantia ita uisum est; sed hoc ipsum etiam in dubium reuocari debet, ut examinemus postea quid certi de hac re liceat iudicare. Et sic de caeteris. [13.11] Omissione uero peccamus, quoties aliqua conditio ad quaestionis determinationem requisita, in eadem uel expressa est, uel aliquo modo intelligenda, ad quam non reflectimus: ut si quaeratur motus perpetuus, non naturalis, qualis est astrorum uel fontium, sed ab humana industria factus, et aliquis (sicut nonnulli fieri posse crediderunt, existimantes terram perpetuo moueri |437| circulariter circa suum axem, magnetem uero omnes terrae proprietates retinere) putet se motum perpetuum ita inuenturum, si hunc lapidem ita aptauerit, ut in orbem moueatur, uel certe ferro suum motum cum aliis suis uirtutibus communicet; quod etsi contingeret, non tamen motum perpetuum arte faceret, sed illo tantum qui naturalis est uteretur, non aliter quam si ad fluminis lapsum rotam ita applicaret, ut semper moueretur; omitteret igitur ille conditionem ad quaestionis determinationem requisitam, etc. [13.12] Quaestione sufficienter intellecta, uidendum est praecise, in quo difficultas eius consistat, ut haec ab omnibus aliis abstracta facilius soluatur. [13.13] Non semper sufficit quaestionem intelligere, ad cognoscendum in quo sita sit eius difficultas; sed insuper reflectendum est ad singula quae in illa requiruntur, ut si quae occurrant nobis inuentu facilia, illa omittamus, et illis ex propositione sublatis, illud tantum remaneat quod ignoramus. Ut in illa quaestione de uase paulo ante descripto, facile quidem animaduertimus quomodo uas faciendum sit: columna in eius medio statuenda, auis pingenda, etc.; quibus omnibus reiectis, ut ad rem non facientibus, superest nuda difficultas in eo, quod aqua prius in uase contenta, postquam ad |438| certam altitudinem peruenit, tota effluat; quod unde accidat, est quaerendum. [13.14] Hic igitur tantum operae pretium esse dicimus, illa omnia, quae in propositione data sunt, ordine perlustrare, reiiciendo illa, quae ad rem non facere aperte uidebimus, necessaria retinendo, et dubia ad diligentius examen remittendo. Regula XIV Eadem est ad extensionem realem corporum transferenda, et tota per nudas figuras imaginationi proponenda: ita enim longe distinctius ab intellectu percipietur. [14.01] Ut autem etiam imaginationis utamur adiumento, notandum est, quoties unum quid ignotum ex aliquo alio iam ante cognitio deducitur, non idcirco nouum aliquod genus entis inueniri, sed tantum extendi totam hanc cognitionem ad hoc, ut percipiamus rem quaesitam participare hoc uel illo modo naturam eorum quae in propositione data sunt. Exempli gratia, si quis a natiuitate caecus sit, non sperandum est ullis unquam argumentis nos effecturos ut ueras percipiat colorum ideas, quales nos habemus a sensibus haustas; sed si quis primarios colores uiderit quidem aliquando, intermedios autem et mixtos nunquam, fieri potest ut illorum etiam, quos non uidit, imagines ex aliorum similitudine per |439| deductionem quamdam effingat. Eodem modo, si in magnete sit aliquod genus entis, cui nullum simile intellectus noster hactenus perceperit, non sperandum est nos illud unquam ratiocinando cognituros; sed uel aliquo nouo sensu instructos esse oporteret, uel mente diuina; quidquid autem hac in re ab humano ingenio praestari potest, nos adeptos esse credemus, si illam iam notorum entium siue naturarum mixturam, quae eosdem qui in magnete apparent, effectus producat, distinctissime percipiamus. [14.02] Et quidem omnia haec entia iam nota, qualia sunt extensio, figura, motus, et similia, quae enumerare non est huius loci, per eamdem ideam in diuersis subiectis cognoscuntur, neque aliter imaginamur figuram coronae, si sit argentea, quam si sit aurea; atque haec idea communis non aliter transfertur ex uno subiecto ad aliud, quam per simplicem comparationem, per quam affirmamus quaesitum esse secundum hoc uel illud simile, uel idem, uel aequale cuidam dato: adeo ut in omni ratiocinatione per comparationem tantum ueritatem praecise cognoscamus. Verbi gratia, hic: omne A est B, omne B est C, ergo omne A est C; comparantur inter se quaesitum et datum, nempe A et C, secundum hoc quod utrumque sit B, etc. Sed quia, ut saepe iam monuimus, syllogismorum formae nihil iuuant ad |440| rerum ueritatem percipiendam, proderit lectori, si illis plane reiectis, concipiat omnem omnino cognitionem, quae non habetur per simplicem et purum unius rei solitariae intuitum, haberi per comparationem duorum aut plurium inter se. Et quidem tota fere rationis humanae industria in hac operatione praeparanda consistit; quando enim aperta est et simplex, nullo artis adiumento, sed solius naturae lumine est opus ad ueritatem, quae per illam habetur, intuendam. [14.03] Notandumque est, comparationes dici tantum simplices et apertas, quoties quaesitum et datum aequaliter participant quamdam naturam; caeteras autem omnes non aliam ob causam praeparatione indigere, quam quia natura illa communis non aequaliter est in utraque, sed secundum alias quasdam habitudines siue proportiones in quibus inuoluitur; et praecipuam partem humanae industriae non in alio collocari, quam in proportionibus istis eo reducendis, ut aequalitas inter quaesitum, et aliquid quod sit cognitum, clare uideatur. [14.04] Notandum est deinde, nihil ad istam aequalitatem reduci posse, nisi quod recipit maius et minus, atque illud omne per magnitudinis uocabulum comprehendi: adeo ut, postquam iuxta regulam praecedentem difficultatis termini ab omni subiecto abstracti sunt, hic tantum deinceps circa magnitudines in genere intelligamus nos uersari. [14.05] Ut uero aliquid etiam tunc imaginemur, nec intellectu puro utamur, sed speciebus in phantasia depictis |441| adiuto: notandum est denique, nihil dici de magnitudinibus in genere, quod non etiam ad quamlibet in specie possit referri. [14.06] Ex quibus facile concluditur, non parum profuturum, si transferamus illa, quae de magnitudinibus in genere dici intelligemus, ad illam magnitudinis speciem, quae omnium facillime et distinctissime in imaginatione nostra pingetur: hanc uero esse extensionem realem corporis abstractam ab omni alio, quam quod sit figurata, sequitur ex dictis ad regulam duodecimam, ubi phantasiam ipsam cum ideis in illa existentibus nihil aliud esse concepimus, quam uerum corpus reale extensum et figuratum. Quod per se etiam est euidens, cum in nullo alio subiecto distinctius omnes proportionum differentiae exhibeantur; quamuis enim una res dici possit magis uel minus alba quam altera, item unus sonus magis uel minus acutus, et sic de caeteris, non tamen exacte definire possumus, utrum talis excessus consistat in proportione dupla uel tripla, etc., nisi per analogiam quamdam ad extensionem corporis figurati. Maneat ergo ratum et fixum, quaestiones perfecte determinatas uix ullam difficultatem continere, praeter illam quae consistit in proportionibus in aequalitates euoluendis; atque illud omne, in quo praecise talis difficultas inuenitur, facile posse et debere ab omni alio subiecto separari, ac deinde transferri ad extensionem et figuras, de quibus solis idcirco deinceps usque ad regulam uigesimam quintam, omissa omni alia cogitatione, tractabimus. |442| [14.07] Optaremus hoc in loco lectorem nancisci ad Arithmeticae et Geometriae studia propensum, etiamsi in iisdem nondum uersatum esse malim, quam uulgari more eruditum: usus enim regularum, quas hic tradam, in illis addiscendis, ad quod omnino sufficit, longe facilior est, quam in ullo alio genere quaestionum; huiusque utilitas est tanta ad altiorem sapientiam consequendam, ut non uerear dicere hanc partem nostrae methodi non propter mathematica problemata fuisse inuentam, sed potius haec fere tantum huius excolendae gratia esse addiscenda. Nihilque supponam ex istis disciplinis, nisi forte quaedam per se nota et unicuique obuia; sed earumdem cognitio, sicut ab aliis solet haberi, etiamsi nullis apertis erroribus sit corrupta, plurimis tamen obliquis et male conceptis principiis obscuratur, quae passim in sequentibus emendare conabimur. [14.08] Per extensionem intelligimus, illud omne quod habet longitudinem, latitudinem, et profunditatem, non inquirentes, siue sit uerum corpus, siue spatium tantum; nec maiori explicatione indigere uidetur, cum nihil omnino facilius ab imaginatione nostra percipiatur. Quia tamen saepe litterati tam acutis utuntur distinctionibus, ut lumen naturale dissipent, et tenebras inueniant etiam in illis quae a rusticis nunquam ignorantur: monendi sunt, hic per extensionem non distinctum quid et ab ipso subiecto separatum designari, neque in uniuersum nos agnoscere eiusmodi entia philosophica, quae reuera sub imaginationem non cadunt. Nam etiamsi aliquis sibi persuadere possit, exempli gratia, si ad nihilum reducatur quidquid est extensum in rerum natura, |443| non repugnare interim, ipsam extensionem per se solam existere, non utetur tamen idea corporea ad hunc conceptum, sed solo intellectu male iudicante. Quod ipse fatebitur, si attente reflectat ad illam ipsam extensionis imaginem, quam tunc in phantasia sua fingere conabitur: aduertet enim, se eamdem non percipere omni subiecto destitutam, sed omnino aliter imaginari quam iudicet; adeo ut illa entia abstracta (quidquid credat intellectus de rei ueritate) nunquam tamen in phantasia a subiectis separata formentur. [14.09] Quia uero nihil deinceps sine imaginationis auxilio sumus acturi, operae pretium est caute distinguere, per quas ideas singulae uerborum significationes intellectui nostro sint proponendae. Quamobrem has tres loquendi formas considerandas proponimus: extensio occupat locum, corpus habet extensionem, et extensio non est corpus. [14.10] Quarum prima ostendit, quomodo extensio sumatur pro eo quod est extensum; idem enim plane concipio, si dicam: extensio occupat locum, quam si dicam: extensum occupat locum. Neque tamen idcirco, ad fugiendam ambiguitatem, uoce extensum uti melius est: non enim tam distincte significaret id quod concipimus, nempe subiectum aliquod occupare locum, quia extensum est; possetque aliquis interpretari tantum extensum esse subiectum occupans locum, non aliter quam si dicerem: animatum occupat locum. Quae ratio explicat, quare hic de extensione nos acturos esse dixerimus, potius quam de extenso, etiamsi eamdem non aliter concipiendam esse putamus quam extensum. |444| [14.11] Iam pergamus ad haec uerba: corpus habet extensionem, ubi extensionem aliud quidem significare intelligimus quam corpus; non tamen duas distinctas ideas in phantasia nostra formamus, unam corporis, aliam extensionis, sed unicam tantum corporis extensi; nec aliud est, a parte rei, quam si dicerem: orpus est extensum; uel potius: extensum est extensum. Quod peculiare est istis entibus quae in alio tantum sunt, nec unquam sine subiecto concipi possunt; aliterque contingit in illis, quae a subiectis realiter distinguuntur: nam si dicerem, uer. gr.: Petrus habet diuitias, plane diuersa est idea Petri ab illa diuitiarum; item si dicerem: Paulus est diues, omnino aliud imaginarer, quam si dicerem, diues est diues. Quam diuersitatem plerique non distinguentes falso opinantur, extensionem continere aliquid distinctum ab eo quod est extensum, sicut diuitiae Pauli aliud sunt quam Paulus. [14.12] Denique si dicatur: extensio non est corpus, tunc extensionis uocabulum longe aliter sumitur quam supra; atque in hac significatione nulla illi peculiaris idea in phantasia correspondet, sed tota haec enuntiatio ab intellectu puro perficitur, qui solus habet facultatem eiusmodi entia abstracta separandi. Quod plerisque erroris occasio est, qui non animaduertentes extensionem ita sumptam non posse ab imaginatione comprehendi, illam sibi per ueram ideam repraesentant; qualis idea cum necessario inuoluat corporis conceptum, si dicant extensionem ita conceptam non esse corpus, imprudenter implicantur in eo, quod idem |445| simul sit corpus et non corpus. Ac magni est momenti distinguere enuntiationes, in quibus eiusmodi nomina: extensio, figura, numerus, superficies, linea, punctum, unitas, etc., tam strictam habent significationem, ut aliquid excludant, a quo reuera non sunt distinctae, ut cum dicitur: extensio, uel figura non est corpus; numerus non est res numerata; superficies est terminus corporis, linea superficiei, punctum lineae; unitas non est quantitas, etc. Quae omnes et similes propositiones ab imaginatione omnino remouendae sunt, ut sint uerae; quamobrem de illis in sequentibus non sumus acturi. [14.13] Notandumque est diligenter, in omnibus aliis propositionibus, in quibus haec nomina, quamuis eamdem significationem retineant, dicanturque eodem modo a subiectis abstracta, nihil tamen excludunt uel negant, a quo non realiter distinguantur, imaginationis adiumento nos uti posse et debere: quia tunc, etiamsi intellectus praecise tantum attendat ad illud quod uerbo designatur, imaginatio tamen ueram rei ideam fingere debet, ut ad eius alias conditiones uocabulo non expressas, si quando usus exigat, idem intellectus possit conuerti, nec illas unquam imprudenter iudicet fuisse exclusas. Ut si de numero sit quaestio, imaginemur subiectum aliquod per multas unitates mensurabile, ad cuius solam multitudinem licet intellectus in praesenti reflectat, cauebimus tamen ne inde postea aliquid concludat, in quo res numerata a nostro conceptu exclusa fuisse supponatur: sicuti faciunt illi qui numeris mira |446| tribuunt mysteria et meras nugas, quibus certe non tantam adhiberent fidem, nisi numerum a rebus numeratis distinctum esse conciperent. Item, si agamus de figura, putemus nos agere de subiecto extenso, sub hac tantum ratione concepto, quod sit figuratum; si de corpore, putemus nos agere de eodem, ut longo, lato et profundo; si de superficie, concipiamus idem, ut longum et latum, omissa profunditate, non negata; si de linea, ut longum tantum; si de puncto, idem omisso omni alio, praeterquam quod sit ens. [14.14] Quae omnia quamuis fuse hic deducam, ita tamen praeoccupata sunt mortalium ingenia, ut uerear adhuc, ne ualde pauci hac in parte ab omni errandi periculo sint satis tuti, explicationemque mei sensus nimis breuem in longo sermone reperiant; ipsae enim artes Arithmetica et Geometria, quamuis omnium certissimae, nos tamen hic fallunt: quis enim Logista numeros suos ab omni subiecto, non modo per intellectum abstractos, sed per imaginationem etiam uere distinguendos esse non putat? quis Geometra repugnantibus principiis obiecti sui euidentiam non confundit, dum lineas carere latitudine iudicat, et superficies profunditate, quas tamen easdem postea unas ex aliis componit, non aduertens lineam, ex cuius fluxu superficiem fieri concipit, esse uerum corpus; illam autem, quae latitudine caret, non esse nisi corporis modum, etc.? Sed ne in his recensendis diutius immoremur, breuius erit exponere, quo pacto nostrum obiectum concipiendum |447| esse supponamus, ut de illo, quidquid in Arithmeticis et Geometricis inest ueritatis, quam facillime demonstremus. [14.15] Hic ergo uersamur circa obiectum extensum, nihil plane aliud in eo considerantes praeter ipsam extensionem, abstinentesque de industria a uocabulo quantitatis, quia tam subtiles sunt quidam Philosophi, ut illam quoque ab extensione distinxerint; sed quaestiones omnes eo deductas esse supponimus, ut nihil aliud quaeratur, quam quaedam extensio cognoscenda, ex eo quod comparetur cum quadam alia extensione cognita. Cum enim hic nullius noui entis cognitionem expectemus, sed uelimus duntaxat proportiones quantumcumque inuolutas eo reducere, ut illud, quod est ignotum, aequale cuidam cognito reperiatur: certum est omnes proportionum differentias, quaecumque in aliis subiectis existunt, etiam inter duas uel plures extensiones posse inueniri; ac proinde sufficit ad nostrum institutum, si in ipsa extensione illa omnia consideremus, quae ad proportionum differentias exponendas possunt iuuare, qualia occurrunt tantum tria, nempe dimensio, unitas, et figura. [14.16] Per dimensionem, nihil aliud intelligimus, quam modum et rationem, secundum quam aliquod subiectum consideratur esse mensurabile: adeo ut non solum longitudo, latitudo et profunditas sint dimensiones corporis, sed etiam grauitas sit dimensio, secundum quam subiecta ponderantur, celeritas sit dimensio motus, et alia eiusmodi infinita. Nam diuisio ipsa in |448| plures partes aequales, siue sit realis, siue intellectualis tantum, est proprie dimensio secundum quam res numeramus; et modus ille qui numerum facit, proprie dicitur esse species dimensionis, quamuis sit aliqua diuersitas in significatione nominis. Si enim consideramus partes in ordine ad totum, tunc numerare dicimur; si contra totum spectamus ut in partes distributum, illud metimur: uer. gr., saecula metimur annis, diebus, horis, et momentis; si autem numeremus momenta, horas, dies et annos, tandem saecula implebimus. [14.17] Ex quibus patet, infinitas esse posse in eodem subiecto dimensiones diuersas, illasque nihil prorsus superaddere rebus dimensis, sed eodem modo intelligi, siue habeant fundamentum reale in ipsis subiectis, siue ex arbitrio mentis nostrae fuerint excogitatae. Est enim aliquid reale grauitas corporis, uel celeritas motus, uel diuisio saeculi in annos et dies; non autem diuisio diei in horas et momenta, etc. Quae tamen omnia eodem se habent modo, si considerentur tantum sub ratione dimensionis, ut hic et in Mathematicis disciplinis est faciendum; pertinet enim magis ad Physicos examinare, utrum illarum fundamentum sit reale. [14.18] Cuius rei animaduersio magnam Geometriae adfert lucem, quoniam in illa fere omnes male concipiunt tres species quantitatis: lineam, superficiem, et corpus. Iam enim ante relatum est, lineam et superficiem non cadere sub conceptum ut uere distinctas a corpore, |449| uel ab inuicem; si uero considerentur simpliciter, ut per intellectum abstractae, tunc non magis diuersae sunt species quantitatis, quam animal et uiuens in homine sunt diuersae species substantiae. Obiterque notandum est, tres corporum dimensiones, longitudinem, latitudinem, et profunditatem, nomine tenus ab inuicem discrepare: nihil enim uetat, in solido aliquo dato, utramlibet extensionem pro longitudine eligere, aliam pro latitudine, etc. Atque quamuis hae tres duntaxat in omni re extensa, ut extensa simpliciter, reale habeant fundamentum, non tamen illas magis hic spectamus, quam alias infinitas, quae uel finguntur ab intellectu, uel alia in rebus habent fundamenta: ut in triangulo, si illud perfecte uelimus dimetiri, tria a parte rei noscenda sunt, nempe uel tria latera, uel duo latera et unus angulus, uel duo anguli et area, etc.; item in trapezio quinque, sex in tetrahedro, etc.; quae omnia dici possunt dimensiones. Ut autem hic illas eligamus, quibus maxime imaginatio nostra adiuuatur, nunquam ad plures quam unam uel duas in phantasia nostra depictas simul attendemus, etiamsi intelligamus in propositione, circa quam uersabimur, quotlibet alias existere; artis enim est ita illas in quam plurimas distinguere, ut nonnisi ad paucissimas simul, sed tamen successiue ad omnes, aduertamus. [14.19] Unitas est natura illa communis, quam supra diximus debere aequaliter participari ab illis omnibus quae inter se comparantur. Et nisi aliqua iam sit determinata, |450| in quaestione, possumus pro illa assumere, siue unam ex magnitudinibus iam datis, siue aliam quamcumque, et erit communis aliarum omnium mensura; atque in illa intelligemus tot esse dimensiones, quot in ipsis extremis, quae inter se erunt comparanda, eamdemque concipiemus, uel simpliciter ut extensum quid, abstrahendo ab omni alio, tuncque idem erit cum puncto Geometrarum, dum ex eius fluxu lineam componunt, uel ut lineam quamdam, uel ut quadratum. [14.20] Quod attinet ad figuras, iam supra ostensum est, quomodo per illas solas rerum omnium ideae fingi possint; superestque hoc in loco admonendum, ex innumeris illarum speciebus diuersis, nos illis tantum hic usuros, quibus facillime omnes habitudinum siue proportionum differentiae exprimuntur. Sunt autem duo duntaxat genera rerum, quae inter se conferuntur, multitudines et magnitudines; habemusque etiam duo genera figurarum ad illas conceptui nostro proponendas: nam, uer. gr., puncta quibus numerus triangularis designatur, uel arbor quae alicuius prosapiam explicat etc., |451| sunt figurae ad multitudinem exhibendam; illae autem, quae continuae sunt et indiuisae, ut triangulus, quadratum, etc. magnitudines explicant. [14.21] Iam uero ut exponamus, quibusnam ex illis omnibus hic simus usuri, sciendum est, omnes habitudines, quae inter entia eiusdem generis esse possunt, ad duo capita esse referendas: nempe ad ordinem, uel ad mensuram. [14.22] Sciendum praeterea, in ordine quidem excogitando non parum esse industriae, ut passim uidere est in hac methodo, quae fere nihil aliud docet; in ordine autem cognoscendo, postquam inuentum est, nullam prorsus difficultatem contineri, sed facile nos posse iuxta regulam septimam singulas partes ordinatas mente percurrere, quia scilicet in hoc habitudinum genere unae ad alias referuntur ex se solis, non autem mediante tertio, ut fit in mensuris, de quibus idcirco euoluendis tantum hic tractamus. Agnosco enim, quis sit ordo inter A et B, nullo alio considerato praeter utrumque extremum; non autem agnosco, quae sit proportio magnitudinis inter duo et tria, nisi considerato quodam tertio, nempe unitate quae utriusque est communis mensura. [14.23] Sciendum etiam, magnitudines continuas beneficio |452| unitatis assumptitiae posse totas interdum ad multitudinem reduci, et semper saltem ex parte; atque multitudinem unitatum posse postea tali ordine disponi, ut difficultas, quae ad mensurae cognitionem pertinebat, tandem a solius ordinis inspectione dependeat, maximumque in hoc progressu esse artis adiumentum. [14.24] Sciendum est denique, ex dimensionibus magnitudinis continuae nullas plane distinctius concipi, quam longitudinem et latitudinem, neque ad plures simul in eadem figura esse attendendum, ut duo diuersa inter se comparemus: quoniam artis est, si plura quam duo diuersa inter se comparanda habeamus, illa successiue percurrere, et ad duo duntaxat simul attendere. [14.25] Quibus animaduersis, facile colligitur: hic non minus abstrahendas esse propositiones ab ipsis figuris, de quibus Geometrae tractant, si de illis sit quaestio, quam ab alia quauis materia; nullasque ad hunc usum esse retinendas praeter superficies rectilineas et rectangulas, uel lineas rectas, quas figuras quoque appellamus, quia per illas non minus imaginamur subiectum uere extensum quam per superficies, ut supra dictum est; ac denique per easdem figuras, modo magnitudines continuas, modo etiam multitudinem siue numerum esse exhibendum; neque quicquam simplicius, ad omnes habitudinum differentias exponendas, inueniri posse ab humana industria. |453| Regula XV Iuuat etiam plerumque has figuras describere, et sensibus exhibere externis, ut hac ratione facilius nostra cogitatio retineatur attenta. [15.01] Quomodo autem illae [figurae] pingendae sint, ut distinctius, dum oculis ipsis proponentur, illarum species in imaginatione nostra formentur, per se est euidens: nam primo unitatem pingemus tribus modis, nempe per quadratum,, si attendamus ad illam ut longam et latam, uel per lineam, ------------ , si consideremus tantum ut longam, uel denique per punctum, ., si non aliud spectemus quam quod ex illa componatur multitudo; at quocumque modo pingatur et concipiatur, intelligemus semper eamdem esse subiectum omnimode extensum et infinitarum dimensionum capax. Ita etiam terminos propositionis, si ad duas simul illorum magnitudines diuersas attendendum sit, oculis exhibebimus per rectangulum, cuius duo latera erunt duae magnitudines propositae: hoc modo, siquidem incommensurabiles sint cum unitate, uel hoc , siue hoc, si commensurabiles sint; nec amplius nisi de unitatum multitudine sit quaestio. Si |454| denique ad unam tantum illorum magnitudinem attendamus, pingemus illam uel per rectangulum, cuius unum latus sit magnitudo proposita, et aliud sit unitas, hoc modo,, quod fit quoties eadem cum aliqua superficie est comparanda; uel per longitudinem solam, hoc pacto, ---------- , si spectetur tantum ut longitudo incommensurabilis; uel hoc pacto, . . . . . , si sit multitudo. Regula XVI Quae uero praesentem mentis attentionem non requirunt, etiamsi ad conclusionem necessaria sint, illa melius est per breuissimas notas designare quam per integras figuras: ita enim memoria non poterit falli, nec tamen interim cogitatio distrahetur ad haec retinenda, dum aliis deducendis incumbit. [16.01] Caeterum, quia non plures quam duas dimensiones diuersas, ex innumeris quae in phantasia nostra pingi possunt, uno et eodem, siue oculorum, siue mentis intuitu contemplandas esse diximus: operae pretium est omnes alias ita retinere, ut facile occurrant quoties usus exigit; in quem finem memoria uidetur a natura instituta. Sed quia haec saepe labilis est, et ne aliquam attentionis nostrae partem in eadem renouanda cogamur impendere, dum aliis cogitationibus incumbimus, aptissime scribendi usum ars adinuenit; cuius |455| ope freti, hic nihil prorsus memoriae committemus, sed liberam et totam praesentibus ideis phantasiam relinquentes, quaecumque erunt retinenda in charta pingemus; idque per breuissimas notas, ut postquam singula distincte inspexerimus iuxta regulam nonam, possimus iuxta undecimam omnia celerrimo cogitationis motu percurrere et quamplurima simul intueri. [16.02] Quidquid ergo ut unum ad difficultatis solutionem erit spectandum, per unicam notam designabimus, quae fingi potest ad libitum. Sed, facilitatis causa, utemur characteribus, a, b, c, etc., ad magnitudines iam cognitas, et A, B, C, etc., ad incognitas exprimendas; quibus saepe notas numerorum, 1, 2, 3, 4, etc., praefigemus ad illarum multitudinem explicandam, et iterum subiungemus ad numerum relationum quae in iisdem erunt intelligendae: ut si scribam 2 a *3, idem erit ac si dicerem duplum magnitudinis notatae per litteram a tres relationes continentis. Atque hac industria non modo multorum uerborum compendium faciemus, sed, quod praecipuum est, difficultatis terminos ita puros et nudos exhibebimus ut, etiamsi nihil utile omittatur, nihil tamen unquam in illis inueniatur superfluum, et quod frustra ingenii capacitatem occupet, dum plura simul erunt mente complectenda. [16.03] Quae omnia ut clarius intelligantur, primo aduertendum est, Logistas consueuisse singulas magnitudines per plures unitates, siue per aliquem numerum designare, nos autem hoc in loco non minus abstrahere ab ipsis numeris, quam paulo ante a figuris Geometricis, |456| uel quauis alia re. Quod agimus, tum ut longae et superfluae supputationis taedium uitemus, tum praecipue, ut partes subiecti, quae ad difficultatis naturam pertinent, maneant semper distinctae, neque numeris inutilibus inuoluantur: ut si quaeratur basis trianguli rectanguli, cuius latera data sint 9 et 12, dicet Logista illam esse *V 225 uel 15; nos uero pro 9 et 12 ponemus a et b, inueniemusque basim esse *V .a*2 + b*2., manebuntque distinctae duae illae partes a*2 et b*2, quae in numero sunt confusae. [16.04] Aduertendum est etiam, per numerum relationum intelligendas esse proportiones se continuo ordine subsequentes, quas alii in uulgari Algebra per plures dimensiones et figuras conantur exprimere, et quarum primam uocant radicem, secundam quadratum, tertiam cubum, quartam biquadratum, etc. A quibus nominibus me ipsum longo tempore deceptum fuisse confiteor: nihil enim uidebatur imaginationi meae clarius posse proponi, post lineam et quadratum, quam cubus et aliae figurae ad harum similitudinem effictae; et non paucas quidem difficultates horum auxilio resoluebam. Sed tandem post multa experimenta deprehendi, me nihil unquam per istum concipiendi modum inuenisse, quod longe facilius et distinctius absque illo non potuissem agnoscere; atque omnino reiicienda esse talia nomina, ne conceptum turbent, quoniam eadem magnitudo, quamuis cubus uel biquadratum uocetur, nunquam tamen aliter quam ut linea uel superficies imaginationi est proponenda iuxta regulam |457| praecedentem. Maxime igitur notandum est, radicem, quadratum, cubum, etc., nihil aliud esse quam magnitudines continue proportionales, quibus semper praeposita esse supponitur unitas illa assumptitia, de qua iam supra sumus locuti: ad quam unitatem prima proportionalis refertur immediate et per unicam relationem; secunda uero, mediante prima, atque idcirco per duas relationes; tertia, mediante prima et secunda, et per tres relationes, etc. Vocabimus ergo deinceps primam proportionalem, magnitudinem illam, quae in Algebra dicitur radix; secundam proportionalem, illam quae dicitur quadratum, et sic de caeteris. [16.05] Denique aduertendum est, etiamsi hic a quibusdam numeris abstrahamus difficultatis terminos ad examinandam eius naturam, saepe tamen contingere, illam simpliciori modo resolui posse in numeris datis, quam si ab illis fuerit abstracta: quod fit per duplicem numerorum usum, quem iam ante attigimus, quia scilicet iidem explicant, modo ordinem, modo mensuram; ac proinde, postquam illam generalibus terminis expressam quaesiuimus, oportere eamdem ad datos numeros reuocare, ut uideamus utrum forte aliquam simpliciorem solutionem nobis ibi suppeditent: uerbi gratia, postquam basim trianguli rectanguli ex lateribus a et b uidimus esse *V .a*2 + b*2., pro a*2 ponendum esse 81, et pro b*2, 144, quae, addita, sunt 225, cuius radix siue media proportionalis inter unitatem et 225 est 15; unde |458| cognoscemus basim 15 esse commensurabilem lateribus 9 et 12, non generaliter ex eo quod sit basis rectanguli trianguli, cuius unum latus est ad aliud, ut 3 ad 4. Quae omnia distinguimus, nos qui rerum cognitionem euidentem et distinctam quaerimus, non autem Logistae, qui contenti sunt, si occurrat illis summa quaesita, etiamsi non animaduertant quomodo eadem dependeat ex datis, in quo tamen uno scientia proprie consistit. [16.06] At uero generaliter obseruandum est, nulla unquam esse memoriae mandanda ex iis, quae perpetuam attentionem non requirunt, si possimus ea in charta deponere, ne scilicet aliquam ingenii nostri partem obiecti praesentis cognitioni superuacua recordatio surripiat; et index quidam faciendus est, in quo terminos quaestionis, ut prima uice erunt propositi, scribemus; deinde quomodo abstrahantur iidem, et per quas notas designentur, ut, postquam in ipsis notis solutio fuerit reperta, eamdem facile, sine ullo memoriae adiumento, ad subiectum particulare, de quo erit quaestio, applicemus; nihil enim unquam abstractum est nisi ex aliquo minus generali. Scribam igitur hoc modo: quaeritur basis A C in triangulo rectangulo A B C, et abstraho difficultatem, ut generaliter quaeratur magnitudo basis ex magnitudinibus laterum; deinde pro AB, quod est 9, pono a, pro BC, quod est 12, pono b, et sic de caeteris. |459| [16.07] Notandumque est, his quatuor regulis nos adhuc usuros in tertia parte huius Tractatus, et paulo latius sumptis, quam hic fuerint explicatae, ut dicetur suo loco. Regula XVII Proposita difficultas directe est percurrenda, abstrahendo ab eo quod quidam eius termini sint cogniti, alii incogniti, et mutuam singulorum ab aliis dependentiam per ueros discursus intuendo. [17.01] Superiores quatuor regulae docuerunt, quomodo determinatae difficultates et perfecte intellectae a singulis subiectis abstrahendae sint, et eo reducendae, ut nihil aliud quaeratur postea, quam magnitudines quaedam cognoscendae, ex eo quod per hanc uel illam habitudinem referantur ad quasdam datas. Iam uero in his quinque regulis sequentibus exponemus, quomodo eaedem difficultates ita sint subigendae, ut quotcumque erunt in una propositione magnitudines ignotae sibi inuicem omnes subordinentur, et quemadmodum prima erit ad unitatem, ita secunda sit ad primam, tertia ad secundam, quarta ad tertiam, et sic consequenter, si tam multae sint, summam faciant aequalem magnitudini cuidam cognitae; idque methodo tam certa, ut hoc pacto tute asseramus, illas nulla industria ad simpliciores terminos reduci potuisse. [17.02] Quoad praesentem uero, notandum est, in omni quaestione per deductionem resoluenda quamdam esse |460| uiam planam et directam, per quam omnium facillime ex unis terminis ad alios transire possumus, caeteras autem omnes esse difficiliores et indirectas. Ad quod intelligendum, meminisse oportet eorum quae dicta sunt ad regulam undecimam, ubi exposuimus qualis sit catenatio propositionum, quarum singulae si cum uicinis conferantur, facile percipimus quomodo etiam prima et ultima se inuicem respiciant, etiamsi non tam facile ab extremis intermedias deducamus. 459-460 4 ORD-CD 045460 SEQ-NO 206 Nunc igitur si dependentiam singularum [propositionum] ab inuicem, nullibi interrupto ordine, intueamur, ut inde inferamus quomodo ultima a prima dependeat, difficultatem directe percurremus; sed contra, si ex eo quod primam et ultimam certo modo inter se connexas esse cognoscemus, uellemus deducere quales sint mediae quae illas coniungunt, hunc omnino ordinem indirectum et praeposterum sequeremur. 460 5 ORD-CD 045460461 SEQ-NO 207 Quia uero hic uersamur tantum circa quaestiones inuolutas, in quibus scilicet ab extremis cognitis quaedam intermedia turbato ordine sunt cognoscenda, totum huius loci artificium consistet in eo quod, ignota pro cognitis supponendo, possimus facilem et directam quaerendi uiam nobis proponere, etiam in difficultatibus quantumcumque intricatis; neque quicquam impedit quominus id semper fiat, cum supposuerimus ab initio huius partis, nos agnoscere eorum, quae in quaestione sunt ignota, talem esse dependentiam |461| a cognitis, ut plane ab illis sint determinata, adeo ut si reflectamus ad illa ipsa, quae primum occurrunt, dum illam determinationem agnoscimus, et eadem licet ignota inter cognita numeremus, ut ex illis gradatim et per ueros discursus caetera omnia etiam cognita, quasi essent ignota, deducamus, totum id quod haec regula praecipit, exequemur: cuius rei exempla, ut etiam plurimorum ex iis quae deinceps sumus dicturi, ad regulam uicesimam quartam reseruamus, quoniam ibi commodius exponentur. Regula XVIII Ad hoc quatuor tantum operationes requiruntur, additio, substractio, multiplicatio, et diuisio; ex quibus duae ultimae saepe hic non sunt absoluendae, tum ne quid temere inuoluatur, tum quia facilius postea perfici possunt. [18.01] Multitudo regularum saepe ex Doctoris imperitia procedit, et quae ad unicum generale praeceptum possent reduci, minus perspicua sunt si in multa particularia diuidantur. Quamobrem hic nos operationes omnes, quibus utendum est in quaestionibus percurrendis, id est, in quibusdam magnitudinibus ex aliis deducendis, ad quatuor tantum capita redigimus; quae quomodo sufficiant, ex ipsorum explicatione cognoscetur. |462| [18.02] Nempe si ad unius magnitudinis cognitionem perueniamus, ex eo quod habemus partes ex quibus componitur, id fit per additionem; si agnoscamus partem ex eo quod habemus totum, et excessum totius supra eamdem partem, hoc fit per substractionem; neque pluribus modis aliqua magnitudo ex aliis absolute sumptis, et in quibus aliquo modo contineatur, potest deduci. Si uero aliqua inuenienda sit ex aliis a quibus sit plane diuersa, et in quibus nullo modo contineatur, necesse est ut ad illas aliqua ratione referatur: atque haec relatio siue habitudo si sit directe persequenda, tunc utendum est multiplicatione; si indirecte, diuisione. [18.03] Quae duo ut clare exponantur, sciendum est unitatem, de qua iam sumus locuti, hic esse basim et fundamentum omnium relationum, atque in serie magnitudinum continue proportionalium primum gradum obtinere, datas autem magnitudines in secundo gradu contineri, et in tertio, quarto, et reliquis quaesitas, si proportio sit directa; si uero indirecta, quaesitam in secundo et aliis intermediis gradibus contineri, et datam in ultimo. |463| [18.04] Nam si dicatur, ut unitas ad a uel ad 5 datam, ita b siue 7 data ad quaesitam, quae est a b uel 35, tunc a et b sunt in secundo gradu, et a b, quae producitur ex illis, in tertio. Item si addatur, ut unitas ad c uel 9, ita a b uel 35 ad quaesitam a b c uel 315, tunc a b c est in quarto gradu, et generatur per duas multiplicationes ex a b et c, quae sunt in secundo gradu, et sic de reliquis. Item, ut unitas ad a < uel > 5, ita a < uel > 5 ad a*2 siue 25; et rursum, ut unitas ad < a uel > 5, ita a*2 < uel > 25 ad a*3 < uel > 125; et denique, ut unitas ad a < uel > 5, sic a*3 < uel > 125 ad a*4 quod est 625, etc.: neque enim aliter fit multiplicatio, si eadem magnitudo ducatur per se ipsam, quam si per aliam plane diuersam duceretur. [18.05] Iam uero si dicatur, ut unitas ad a uel 5 datum diuisorem, ita B uel 7 quaesita ad a b uel 35 datum diuidendum, tunc est ordo turbatus et indirectus: quapropter B quaesita non habetur, nisi diuidendo a b datam per a etiam datam. Item, si dicatur, ut unitas ad A uel 5 quaesitam, ita A uel 5 quaesita ad a*2 uel 25 datam; siue, ut unitas ad A < uel > 5 quaesitam, sic A*2 uel 25 quaesita ad a*3 uel 125 datam; et sic de caeteris. Haec omnia complectimur sub nomine diuisionis, quamuis notandum sit has posteriores huius species maiorem continere difficultatem quam priores, quia saepius in illis reperitur magnitudo quaesita, quae proinde plures relationes inuoluit. Idem enim est horum exemplorum sensus, ac si diceretur extrahendam esse radicem quadratam |464| ex a*2 siue < ex > 25, uel cubicam ex a*3 siue ex 125, et sic de caeteris; qui mos loquendi est apud Logistas usitatus. Vel ut etiam Geometrarum terminis illas explicemus, idem est ac si diceretur inueniendam esse mediam proportionalem inter magnitudinem illam assumptitiam, quam unitatem uocamus, et illam quae designatur per a*2, uel duas medias proportionales inter unitatem et a*3, et ita de aliis. [18.06] Ex quibus facile colligitur, quomodo hae duae operationes [additio et substractio; multiplicatio et diuisio] sufficiant ad magnitudines quascumque inueniendas, quae propter aliquam relationem ex aliis sint deducendae. Atque his intellectis, sequitur ut exponamus quomodo hae operationes ad imaginationis examen sint reuocandae, et quomodo etiam ipsis oculis exhibendae, ut tandem postea illarum usum siue praxim explicemus. [18.07] Si additio uel substractio faciendae sint, concipimus subiectum sub ratione lineae, siue sub ratione magnitudinis extensae, in qua sola longitudo est spectanda: nam si addenda sit linea a ad lineam b, unam alteri adiungimus hoc modo a b, et producitur c. |465| [18.08] Si autem minor ex maiori tollenda sit, nempe b ex a, unam supra aliam applicamus hoc modo, et ita habetur illa pars maioris quae a minori tegi non potest, nempe, [18.09] In multiplicatione concipimus etiam magnitudines datas sub ratione linearum; sed ex illis rectangulum fieri imaginamur: nam si multiplicemus a per b, unam alteri aptamus ad angulos rectos hoc modo, et fit rectangulum. [18.10] Iterum, si uelimus multiplicare a b per c, oportet concipere a b ut lineam, nempe a b, ut fiat pro a b c: [18.11] Denique in diuisione, in qua diuisor est datus, magnitudinem diuidendam imaginamur esse rectangulum, cuius unum latus est diuisor, et aliud est quotiens: ut si rectangulum a b diuidendum sit per a, tollitur ab illo latitudo a, et remanet b, pro quotiente: uel contra, si idem diuidatur per b, tolletur altitudo b, et quotiens erit a, [18.12] In illis autem diuisionibus, in quibus diuisor non est datus, sed tantum per aliquam relationem designatus, ut cum dicitur extrahendam esse radicem quadratam uel cubicam etc., tunc notandum est, terminum diuidendum et alios omnes semper concipiendos esse ut lineas in serie continue proportionalium existentes, quarum prima est unitas, et ultima est magnitudo diuidenda. Quomodo autem inter hanc et unitatem quotcumque mediae proportionales inueniendae sint, dicetur suo loco; et iam monuisse sufficiat, nos supponere tales operationes hic nondum absolui, cum per motus imaginationis indirectos et reflexos faciendae sint; et nunc agimus tantum de quaestionibus directe percurrendis. [18.13] Quod attinet ad alias operationes, facillime quidem absolui possunt eo modo, quo illas concipiendas esse diximus. Superest tamen exponendum, quomodo illarum termini sint praeparandi; nam etiamsi, cum primum uersamur circa aliquam difficultatem, nobis liberum sit eius terminos concipere ut lineas, uel ut rectangula, nec alias unquam figuras illis tribuamus, ut dictum est ad regulam decimam quartam, frequenter tamen in discursu rectangulum, postquam ex duarum |468| linearum multiplicatione fuit productum, mox concipiendum est ut linea, ad aliam operationem faciendum; uel idem rectangulum, aut linea ex aliqua additione aut substractione producta mox concipienda est ut aliud quoddam rectangulum supra lineam designatam, per quam est diuidendum. [18.14] Est igitur operae pretium hic exponere, quomodo omne rectangulum possit in lineam transformari, et uicissim linea aut etiam rectangulum in aliud rectangulum, cuius latus sit designatum; quod facillimum est Geometris, modo animaduertant per lineas, quoties illas cum aliquo rectangulo comparamus, ut hoc in loco, nos semper concipere rectangula, quorum unum latus est longitudo illa quam pro unitate assumpsimus. Ita enim totum hoc negotium ad talem propositionem reducitur: dato rectangulo, aliud aequale construere supra datum latus. [18.15] Quod etiamsi uel Geometrarum pueris sit tritum, placet tamen exponere, ne quid uidear omisisse. Regula XIX Per hanc ratiocinandi methodum quaerendae sunt tot magnitudines duobus modis differentibus expressae, quot ad difficultatem directe percurrendam terminos incognitos pro cognitis supponimus: ita enim tot comparationes inter duo aequalia habebuntur. |469| Regula XX Inuentis aequationibus, operationes, quas omisimus, sunt perficiendae, multiplicatione nunquam utendo, quoties diuisioni erit locus. Regula XXI Si plures sint eiusmodi aequationes, sunt omnes ad unicam reducendae, nempe ad illam cuius termini pauciores gradus occupabunt in serie magnitudinum continue proportionalium, secundum quam iidem ordine disponendi. Atqui notandum est illos, qui uere sciunt, aequa facilitate dignoscere ueritatem, siue illam ex simplici subiecto, siue ex obscuro eduxerint: unamquamque enim simili, unico, et distincto actu comprehendunt, postquam semel ad illam peruenerunt; sed tota diuersitas est in uia, quae certe longior esse debet, si ducat ad ueritatem a primis et maxime absolutis principiis magis remotam. FINIS