Statistische Kennwerte bei Regressionsrechnungen

In meiner Arbeit werden für Regressionsrechnungen die folgenden, nach Algorithmen aus Noack (1980) berechneten statistischen Kennwerte benutzt:

• Die Varianz der Residuen. Sie berechnet sich aus der Summe der Abweichungsquadrate zwischen Meßpunkt und errechneter Kurve (d.h. der Regressionsgeraden), geteilt durch die Anzahl der Meßpunkte minus 1.
• Die Standardabweichung der Residuen. Sie errechnet sich aus der Quadratwurzel der oben beschriebenen Varianz.
• Der Betrag des Korrelationskoeffizienten: Zunächst wird zur Berechnung das Verhältnis der Varianz der Residuen zur Varianz aller Datenpaare gebildet. Der Korrelationskoeffizient errechnet sich aus der Quadratwurzel dieses Verhältnisses. Der Korrelationskoeffizient kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Je größer der Wert, desto besser wird der Zusammenhang der Meßwerte durch die errechnete Kurve beschrieben. Ein Wert von 1 etwa bedeutet, daß alle Datenpaare auf der Kurve liegen. Ein Wert von 0 bedeutet, daß die berechnete Kurve überhaupt keinen Zusammenhang mit den Datenpaaren hat. Man beachte jedoch: Der Korrelationskoeffizient ist ein absolutes Maß und läßt alleine keinen Rückschluß auf einen tatsächlichen Zusammenhang zwischen den Daten und der Kurve zu. Er muß immer im Zusammenhang mit der Anzahl der Meßwerte interpretiert werden!
• Die Anzahl der Freiheitsgrade dF errechnet sich aus: Anzahl der Daten-Paare minus Anzahl der geschätzten Parameter. Ein Beispiel: Die Anzahl der gültigen Daten-Paare sei 30. Bei einer Polynom-Regression 2. Grades ist dann df = 30 - 3 = 27.
• Die Irrtumswahrscheinlichkeit p. p = 1 bedeutet hier eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 100%, analog dazu bedeutet p $\leq$ 0.05 eine Irrtumswahrscheinlichkeit von kleiner oder gleich 5%. Ein Wert p $\leq$ 0.01 bedeutet z.B., daß der gefundene Korrelationskoeffizient mit höchstens 1% Unsicherheit keinen zufälligen Zusammenhang zwischen Datenpaaren und errechneter Kurve beschreibt.
• Die Determinationskoeffizienten Eta₂ und Eta_2adj (im Text auch häufig als r² bezeichnet). Der Koeffizient Eta₂ ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten und gibt den Anteil der Varianz an, der durch die Regression aufgeklärt wird. Zusätzlich wird mit Eta_2adj ein weiterer Koeffizient ausgegeben, der eine bessere Schätzung der aufgeklärten Varianz liefert. Die Berechnung erfolgt nach der Formel

  $${\frac{(1-Eta_2)(n-1)}{n-k}}$$ (2.2)

  Hierbei ist: Eta₂ = Varianz der Residuen beziehungsweise die Varianz aller Datenpaare, n = Anzahl der Meßwert-Paare, k = Anzahl der geschätzten Parameter.